我打算要写的这一章内容很有意思，可是写起来会有很多困难。这并不是因为这一章需要描写的主题难以理解，而是因为这一章的内容需要读者有一定的几何学知识。几何学知识非常有用，可是却完全没有受到人们的重视。我并不是要写给几何学家看，因为一般情况下，他们不太关心动物生命以及本能的东西；我也不是要写给昆虫学家看，数学定理对他们来说是无足轻重的。我只是要写给对昆虫感兴趣的一切聪明人看。
我该怎么办？如果取消这一章的内容，蜘蛛技巧中最吸引人的地方就会被忽视；如果用数学公式来解释，区区几页纸根本不能将问题解答明白。所以最后我采取了一个折中的办法，既不死板地描述又不一点也不说明。
让我们先仔细观察圆网蛛的网吧。我们首先看到的是，所有的辐射丝长度都相等。另外，丝与丝相交所产生的角数量很多，甚至超过了 40个。我们可以看到几乎所有的角的角度都相等。蜘蛛使用一种特别奇妙的方法来达到自己的目的：它将需要织网的空地分成许多具有相同弧度的扇形，并且每一只蜘蛛所划分的扇形面数量几乎是相同的。这种操作尽管没有秩序，很随意，但却生产出了只有用圆规才能画出的圆网。
我们仔细观察会注意到，每一个扇形面内所有的横线几乎都是平行的，只是离中心越近，横线之间的距离越小。横线与连接横线的辐射丝能构成一定的角度，一边构成钝角，一边构成锐角。因为横线之间是平行关系，所以在同一扇形面内，这些角的角度是一定的。
蛛网具有这个特点，可以得知对数螺线被使用了。从“极点”即中心点辐射出来的一切直线，或者扇形面的辐射线，以及用作为常数的辐射角值斜切，所得出来的一切曲线，几何学家都将其称为“对数螺线”。由此可见，内切于对数螺线的多边形，其实就是圆网蛛所走的路程。假如辐射丝的数量无限多，它就会与对数螺线相混，这样就会使直线很短，多边形线几乎等同于曲线。
虽然我很想告诉大家对数螺线为什么会引起科学家的广泛关注，可是现在我只能从局部作简单的描述。对这个问题的明确说明，读者可以从高等几何的论文中找到。
对数螺线能围绕极点组成数量无限多的圈，可是它只能是无限接近极点却永远无法真正到达。它的这种特性，显然超出了我们的感觉器官所能感受到的范围。因为即使有最精密仪器的帮助，我们的眼睛也不能连续注视着数量繁多的圆圈，所以会很快停止注意这无限多的分割。这种不会有极限的圆圈我们根本想象不出。只有理智因为受过特殊训练，比我们的视力更敏锐，才能发现视力无法看到的事物。
圆网蛛织网时严格遵循无限绕圈的法则，越靠近中心点的地方，螺旋圈越是紧凑。螺旋圈到了离极点一定的距离就会突然停止，存在于中心位置的辅助螺旋丝在连着这根丝。我们还会惊奇地发现，越是靠近极点的地方，辅助螺旋丝绕的圈也越是紧密，几乎不被人察觉。这虽然不是高度精确，却也无限接近精确。圆网蛛尽自己最大的力量，使螺旋圈越来越接近中心点。它真是精通螺线规则的专家！
我还要继续跟大家讲述这种螺旋曲线的某些性质，不过不作具体说明。假设对数螺线上环绕一根能弯曲的线，然后将线拉开并拉紧，这时它自由的那一头就会卷曲成跟原先一样的螺旋形，不同的只是曲线的方向改变了。
雅各布· 伯努利这位著名的几何学定理的发现者的墓碑上，刻有对数螺线和由此产生的延长线，这是他的荣誉头衔，还附带一段碑文：
“我原样复活自己。”关于这个飞向来生的严肃问题，很难用几何学来表述。
除此之外，我还知道另外一个同样杰出的几何学家的碑文。西塞罗担任西西里财政大臣的时候，曾经在乱石堆中寻找阿基米德的墓穴。在废墟中，他发现了一个刻着几何图形的石头。通过它，才找到了数学家的坟墓。图形画的是一个被画成球形的圆柱体。第一个懂得圆周与直径近似比率的人就是阿基米德。除此之外，他还求出了圆周、圆面积、球面、球体积。他计算出圆柱体的面积和体积的 2/3 就是球的面积和体积。这位出生于叙古拉的证明学者不喜欢过分夸大的碑文，他用自己发现的定理作为碑文，并以此深感自豪。看来，几何图形和字母一样都能清楚地表示人物的姓名。
对数螺线还有一个性质。在一条不确定的直线上，曲线持续绕圈，极点在同一条直线上不断变换位置。虽然在持续绕圈，结果却仍然是一条直线，连续变化的结果却是丝毫没变。
对数螺线有着如此奇怪的性质，这是不是几何学家随意将数字和面积相结合而产生的想法？是不是他们先想象出一个神秘问题，然后运用他们的方法来解释这一问题呢？这是不是就像在夜间遇到了许多困难时所出现的一个想法，一个能让我们的智慧得到充分利用的难解之谜呢？
不是的，这是一个真理，服务于生命的真理，是动物建筑师经常使用的设计图。特别是软体动物，在贝壳上绕螺旋线时，习惯使用这条有学术价值的曲线。这种动物不仅懂得这条曲线，更是将它运用到了实践中。从宇宙初开一直到今天，它们总是将曲线画得很好。
关于这个问题，我们可以先研究菊石—真正的圣骨。远古时大水刚刚退去，海底刚刚形成陆地，以及什么是生命的最高表现方式，它们都有记载。如果顺着化石生长的方向将其切开并磨光，我们可以看到美丽的对数螺线。如果按照住宅的标准将其画出来，一根水管穿过住宅，住宅被隔出许多个房间。
直到今天，印度的鹦鹉螺，这个花纹贝壳的头足纲软体动物的最后代表仍然遵循着远古时形成的法则，因为它还没有发现比远古祖先更好的方法。它只是将水管的位置从背上移动到中心，可是它是根据对数规则缠绕螺线。这一点，与宇宙初开时的菊石是一样的。
我们不要认为这种曲线具有深奥的学术性，只有软体动物中的佼佼者才能画。有一种扁平贝壳动物，生长在长着青草的水沟里，个头和扁豆差不多。我们称之为扁卷螺。它在高等几何学方面，可以与菊石、鹦鹉螺一比高低。比如，涡虫扁卷螺的对数螺线就非常漂亮。
同样的基本法则也能支配长形贝壳动物，不过此时的结构更加复杂化。我手头有几种锥尾螺，它们来自于新喀里多尼亚①。它们的尾椎既尖利又长，大概一拃长。它们有光滑而又完全裸露的表面，甚至没有任何的装饰品，比如结节、珍珠带等。锥尾螺的建筑物美轮美奂，它的最大装饰品就是简单。螺壳上面有 20 多个圆圈，这些圆圈一个比一个细，直至在纤细的顶部消失，会被一条细线截住。
我用铅笔在这个椎体上任意画出一条母线，尽管我的眼睛没有接受过任何关于几何测量的练习，可是依照我观察到的，我还是发现螺旋线以一种固定值的角度将我画出的线切断。
根据这个实验结果我可以得出：椎体的母线投射到与贝壳轴线垂直的面，这样就成为半径。从底部螺旋上升的细线，到顶部能相互融合形成一条平的曲线，只有对数螺线才能以固定不变的角度与半径相交。
反过来说，我们可以将贝壳的花纹看做是螺线子锥形表面的投影。
令人感到更加奇妙的是，可以假想这样一个平面，它与贝壳轴线垂直，并且从顶端穿过。再假想有一条线绕在螺旋线上，我们将这条线拉得很直并且末端不脱离平面，退出来，这样在平面上就出现了一条对数螺线。比伯努利的“我原样复活自己”的更复杂的变形就是：锥形对数曲线成为平面对数曲线。
其他一些长圆锥形贝壳动物，比如长辛螺、蟹瘦螺，以及一些扁圆锥形贝壳动物，比如马蹄螺、嵘螺，它们的身上都有类似的几何学。
甚至连卷成涡形的小球一样的软体动物也是这样的。以上这些动物，还有经常见到的蜗牛，都是根据对数规则建造房子的出色几何学家。
软体动物绕它们的住宅的总设计图，就是这条有名气的螺线。
为什么这些软体动物能够掌握这门科学呢？有人这样说：软体动物是由幼虫衍生而来的。在一个阳光普照的一天，幼虫们都很兴奋，它们欢快地摇晃着尾巴，将尾巴变成了螺旋形，将来出现的螺旋形贝壳的设计图就被忽然发现了。
直到今天，这种说法还是被人们非常严肃地传授着，好像这是科学取得胜利的证据。我需要了解我们接受这种说法处于何种程度，但是，这种说法是绝对不会被蜘蛛接受的。蜘蛛和幼虫既没有血缘关系，也没有可以卷成螺旋形的尾巴，可是它能编织对数螺线。依据这条著名的曲线，它能编造出蛛网的框架。尽管框架有些简朴，却足以证明它的作品是多么的出色。其实，蜘蛛织网所遵循的法则与有卷曲外壳的软体动物所遵循的法则是相同的。
软体动物会花几年的时间来建造螺旋形房子，所以它绕的螺线美轮美奂。而圆网蛛织网最多花上一个小时，所以作品简陋些也是可以理解的。软体动物的螺线非常精美，而圆网蛛只草草地画出曲线，这样就缩短了建造的时间。
由此可见，蜘蛛既精通菊石的几何学，又能画出蜗牛独特的对数螺线。它是依靠什么来指引呢？人们不能像谈到软体动物的幼虫那样谈到蜘蛛，说它们也有能做出卷曲动作的器官。蜘蛛身上肯定藏有螺线草图。我们会预先设想许多次偶然的机会，但是它不能仅仅根据偶然的机会就能懂得高级几何学。即便是有着很高智慧的人类，如果先前没接受一定的教育，也一定会被高等几何学搞得头晕。
圆网蛛的这种高超技艺是不是单纯的身体结构的作用呢？我们很快就能想到，它的步足假如可以自由伸缩，就可以发挥圆规的作用。步足弯曲的角度大点小点，向前伸得长点短点，就可以控制螺线横穿辐射丝的角度，这样每个扇面的横线都能保持平行。
我在此将针对这一问题提出我的不同意见，那就是工具并不是唯一能调节作品的东西。假如丝的布置是由步足长短决定的，那么纺织工的步足长一些，螺旋形线之间的距离就会更宽一些。实际上，彩带蛛和丝蛛正好向我们证实了这一点。彩带蛛的步足比丝蛛的长，因此它的蛛网横线间隔就比丝蛛的间隔宽。
可是，我们从别的蜘蛛身上了解到，也不能太相信这条规则。角形蛛、苍白圆网蛛以及冠冕蛛与彩带蛛相比，个个又矮又胖，可是它们的黏胶螺旋线之间的宽度却与彩带蛛几乎相同，甚至后两种蜘蛛的螺旋丝宽度比彩带蛛还要宽。
我还想说，身体构造固定不变，但是作品不一定不变。圆网蛛织网时先编织辅助螺旋丝作为支撑点，然后才编织黏胶螺旋丝。辅助螺旋丝没有黏胶，是一种普通丝。它源自中心，到达边缘，圈的宽度一圈比一圈大。这种建筑物是临时性的，蜘蛛编织黏胶螺旋丝时，它就只有中央一部分了。捕虫网的基本部分是第二个螺旋丝，它以紧密小圈的形式由边缘向中心方移动，而且它是由黏性横线构成的。
这时候，因为设置发生了改变，方向、圈数和相交角都不相同的两种对数螺线就出现了。无论步足长还是短，我没有发现任何的设备能够说明这种情况。
可是，这种方法是不是圆网蛛预先设计好了的呢？也许它做了计算，或者用眼睛以及别的器官测量了角度？或者对平行做了检查？我认为完全不是这样，这都是蜘蛛与生俱来的技艺。圆网蛛并没有刻意去想怎么做，就好比花朵并没有刻意去布置叶子、枝杈一样。圆网蛛是在自己根本不知道的情况下，就做了高度精确的几何计算。它并没有留意这些，这只是一种本能的推动。
被扔出去的小石子掉在地上，会在空中画一道曲线；枯黄的树叶被风吹落到地上，也能画出类似的曲线。无论是小石子还是枯叶，它们都是无意间掉落下来的，都是沿着抛物线的轨迹掉下来的。抛物线的圆锥面与平面相交，会出现一条切线。这条切线给几何学家提供了思考的空间。起初只有通过想象才能得出的图形，现在由于石子落在了垂直线以外而成为现实。
我们针对抛物线再进行思考。假设抛物线在一条直线上滚动向前，是否可以说这条曲线的焦点是顺着一定路径移动呢？从理论上来解释是这样的：抛物线焦点可以画出一条悬链线。线的形状不复杂，可是却需要一组什么数字来表示它的代数符号。这个数不能一一列举，而且无论划分多么细致都无法用单位表示。这个数被称为 e 数，它的数值是无限级数，如下所示：
e=1+ EQ F（1，1) + EQ F（1，1*2) + EQ F（1，1*2*3) + EQ F（1，1*2*3*4) + EQ F（1，1*2*3*4*5) +ctc
由于自然数无限，因此这个级数也无限，假如读者有足够的耐心将级数的前几项稍作计算，他能得出这个数字：
e=2.7182818……
看着这个奇妙的数字，想必你不会认为这纯粹是出于偶然了。当然不会了，因为每当地球引力和干扰性同时发生作用的时候，在现实中就会出现悬链线。悬链线就是一条悬链弯曲成两点不在同一垂直线上的曲线。比如，人们抓住绳子的两端，使其成自然垂下的样子；船帆被风吹鼓时的外形线条；母山羊乳房胀满后鼓起来的曲线。所有这一切，都需要 e 数的参与。
虽然是一小段线，可这里隐藏的科学是多么深奥呀！对此，我们不要感到惊异。就像吊在线上的小铅球，顺着麦叶往下流的露珠，被微风吹皱的湖面，等等。总而言之，无论什么东西，当它有必要进行计算的时候，总会有大量的数字被使用。我们手里有海格力斯的狼牙棒时，才能打败一只小飞虫。
虽然我们的数学计算方法非常奇妙，可是我们不能对使用这些方法的大脑有过分欣赏的态度。因为大脑在对待微小的现实计算时，速度不但慢，而且还辛苦。我们难道没想过用一种更简便的方法取得正确的结果吗？将来是否会有一天，我们能充分利用自己的智慧摆脱掉烦琐的公式呢？这种情况一定会出现的。
现在，写在蜘蛛丝上的奇妙 e 数出现在我们面前。在一个弥漫着大雾的早上，我仔细研究了一张在夜间刚刚完工的网。因为有雾的原因，水滴凝结在黏胶丝上。黏胶丝因为受到水滴的重压而变弯，就形成了许多悬链线，就像透明的佛珠。排列得很整齐的佛珠垂下来，仿佛是秋千的曲线。阳光透过晨雾，照在蛛网上，于是整个网都闪着金光，光彩夺目，几乎就是耀眼照人的烛台。e 数真是奇妙呀！
几何，也就是平面上的和谐，它控制着一切事物。松果鳞片排列有几何存在；圆网蛛的黏胶网有几何存在，甚至包括蜗牛的螺旋上升斜线、蜘蛛网的念珠、行星的轨道等都有几何。几何真是无处不在。无论是在微小的原子世界还是辽阔的宇宙空间，几何的表现都非常出色。
普普通通的几何学又像无所不能的几何学家。整个世界都被它用神奇的圆规测量过了。我详细解释了菊石和圆网蛛的对数。与幼虫卷起尾巴的说法相比，这样的解释更能让我接受。可能这种解释与今天普遍流行的说法不大相符，可是它的价值会更高。