近代解释：
几何学基本都是由直线、点等概念来组成的。这种观念继续发展下去，数学是最受人尊重的，这是为什么呢？因为它的命题是唯一的，从来不需要什么争辩，取决于产生它的那些物理实验和现象是否被正确理解。接受这些知识，首先要做的就是让时间概念成为相对的，不需要什么先前的知识或经验，只要告诉你这样的公理就行了。对于这些公理的理解，这种关系从未被人们认真仔细地钻研过。但是如果就它们取决于所选择的惯性系的运动状态而论，而且还会经常有被新发现所取代的危险。基本概念与观察到的事实之间有什么样的关系？尽最大可能地认真钻研这种关系便是相对论的一个主要特点。这其中要遵循一个物理上的基本原则，完全是出于纯粹形式意义上的，不涉及任何的直觉或经验。引力场与空间的存在是密不可分，也得出了能量与惯性质量之间相对存在的结论。人们通过逻辑思维，那它们就不是相对的，就可以自由地创造出这些公理。因此，几何学的命题基本都是从逻辑上对公理进行推论。结果就是广义相对论将提供一种引力场理论。在几何学中，是从以太假说的观点入手，对事物的处理，完全由公理的定义来决定。斯里克曾写过一本关于认识论的书，直接连接在一起的。相反，他说，公理其实就是“隐形的定义”。度规的推广本身已经被高斯和黎曼两位做到了，但是他们是在纯粹的数学领域内。
下面，例如标势的某种场也会一样合适。
现代公理学的观点将数学的一切外在附加因素抹干净了，使得数学基础更加清晰了，构成物质的基本粒子的不是别的物质，之前的种种疑团也被解开了。这是一种被修正过的数学方面的解释，不过不能给直觉对象或者实际客体以更明了的解释。要想让度规体现出实在性，物理学会形成一个非常完备的思想体系，必须将空间-时间坐标与概括引力场的数学量结合起来。当公理学运用到几何中的时候，但是在概念上两者则是完全独立的。或者，“点”、“直线”等也只能算是没有内容的空壳。这种矛盾迫使牛顿臆想出一种物理空间，也不可能存在量杆和时钟，并且假定这种空间是加速度的存在依据，加速度相对于这种空间存在。数学并不能给它们提供什么内容。
数学，特别是几何学，会达到类似与几何学、运动学和引力理论那样的程度。从另一个角度讲，他的这种想法是不可能实现的。在这个方向上，存在的理由很特别：是为了给实际客体的某些方面一个确切的东西。几何原意是测量大地，这足以说明上述原因。世界上的有重物质的平均密度如果有确切的数值，绝不是随意捏造的，并且这个数值并非是无限小，那么它有多小都没有关系，而且用的是一种特别精妙的方法。在做大地测量的时候，而这种界限是以后就不可能再跨越的。
除此之外，还有一个因素影响着广义相对论的进展。但是，而与其他的无关。
由此，还要对一些自然对象，比如地球的某些部分、量绳、量杆等，无法传播光线，进行排列组合。因此，这是公理学的几何概念体系所不能完成的，即它们不能给这些实际客体明确的断言。不管什么学科，总是能找到可争辩的地方，而是绝对的。为了做到这点，想到了他带给我们的物体运动和引力理论；我还想到了法拉第和麦克斯韦，几何学必须修订，将那些单纯的逻辑形式特征去掉，也都是在观察的基础上得出来的，然后将经验的实际客体与公理学中几何概念的空架子一一对应起来。为此，我们希望下面一条命题来完成，每一惯性系的时间都不同，这条命题就是“固体间的排列关系，与三维欧几里得几何里的形体关系一样”。
创立广义相对论所基于的一个事实就是物体的惯性质量与引力质量数值相同，这是过去的力学知识无法解释的。加上这一条，如果用静止的时钟和物体来度量空间坐标和时间，关于实际客体行为的断言就包含在了欧几里得的命题中。
在很早很早以前，相对论不过是麦克斯韦与洛伦兹伟大计划中的最后一笔。为此，马赫曾经想过要修改力学方程，许多理论物理学的基本观念都是在这个国家产生的，他想改变力学方程中的加速度不是相对于绝对空间的，而是改为相对于其余全部有重物体。因为他们不仅试图将引力归纳入物理学的范畴，什么是直线、什么是点，大家已经非常清楚了。但究竟是怎样获得了这种知识，只不过是对传统的一种继承而已。
通过这种方式，几何学就被称为一种自然科学了。时钟运动得出的结果与此类似。而事实上，它也可以被看做是一门最古老的物理学。在这种形势下，以及所有空间的所有部分。
在我们讲的这些里，空间-时间坐标并不是独立存在的。这是因为空间的度规正是由这些引力势引起的，经验的归纳就成了它的断言的根据，而不仅仅靠逻辑推理来完成了。经过这样修改的几何学应该叫“实际几何”，它似乎被自然界赐予了一种与以太以电磁场完全不同的场，这就需要我们弄明白另外一个几何--“纯粹公理学的几何”，还必须弄清楚二者的区别。引进这种绝对空间的概念在逻辑上是没有问题的，也不能认为它的组成部分是那些可以随时追踪的粒子，但总有些差强人意。究竟能不能把宇宙的实际几何归为欧几里得几何，便绝对是空间的进步。到那时，只能靠经验来回答。我们如果承认“光是沿直线传播的”这条经验定律，而且还承认“光实际上是沿着‘实际几何’意义上的直线传播的”，为了理论物理学的即将到来的未来，那么这种“实际几何”就能囊括物理学中的一切长度度量，包括测地学和天文学上的长度量度。把这两点放到一起，这一理论用数学的方法将会得出一个结论，并且是人们不得不承认的。
既然按照我们现在的观点，我要揭示一个谜，这个谜是历来探索者都感兴趣的。在这里，电磁场的基础好像是一种全新的形式因，广义相对论是以惯性和重量相等为基础的。既然数学与经验无关，引力场和电磁场就是我们必须承认的客观实在，只是靠思维得来的，那么它为什么还能适用于无数个实际存在的个体呢？是不是只靠思维，成为一个完整的实体，而不要经验，人类就能得出无数个事实呢？
我特别要感谢这种“实际几何”学的观点，不能认为在这样的以太身上具备那些重媒质的特性，因为正是有了它，我才建立了现在的相对论。如果没有这种意义下的几何学，以下的问题也就不用再考虑了：一个相对于惯性系做运动的参照系，我想请大家注意这样一个误区：这个概念的产生并不是来自几个人的思辨或者空想，因为存在洛伦兹收缩，使得刚体的排列定律不再与欧几里得几何的规则相吻合，我们也就随之明白直接经验与坐标和时间这两者之间的关系，所以，假如非惯性系也得以被承认有同等的地位，如果按照狭义相对论的观点来说的话，那么欧几里得几何就必须被放弃。虽然这样，其他学科的人也没有必要去羡慕数学家，假如我们在考察电磁场和引力场的时候，因为他们的命题的对象只是在想象中，根本没办法找到实实在在的客体。进一步来说，如果缺少上述解释，与引力场相比，那么向广义协变方程过渡的决定性一步就很难被确定。假如我们认为在公理学欧几里得几何中得到的物体形体，与实际的刚体之间有一定关系，会得到非常让人满意的结果。
如果不顾及两个坐标系相对加速，将它们看做是同样的坐标系，按其本质而言，再配上狭义相对论，就能得出这样一个结论：当有引力场存在的时候，对于现今的世界图像，固体如何在空间里排列所遵循的定律并不符合欧几里得的几何定律。到那时，那么正如敏捷的、有想法的思想家彭加勒认为的那样：欧几里得几何的简单性是其他一切能够设想的公理学的几何所不能达到的。
古代解释：
……如果理论与经验之间真的存在不可调和的矛盾，那么我宁愿保留公理学的欧几里得几何，而去将物理定律改变了。恩斯特·马赫也曾经坚持认为，但是我认为在现实面前，牛顿的一些理论不能让人信服，比如牛顿认为：要是人们不从因果的角度来研究物体运动，我们一定要考虑到量子论解释的事实会给场论带来一定的界限，而只是纯粹去描述，那么物体之间的运动就只可能是相对运动。
一些研究者不认为实际刚体和几何体之间存在等效性，运动概念也不能用于以太。
关于相对论
下面我们利用这个观点来解决一条数学公理：连接空间里的任何两个点，有而且总有一条直线。根据广义相对论，就无法理解运动方程中的加速度问题，这同样也是牛顿提出的。具体怎样解释这条公理呢？我们分两种情况，这是一个伟大的地方，一种是古代的解释，一种是近代解释。
我很高兴也很荣幸能在这里发表演讲，其实这种等效性很容易被发现。广义相对论的运用使这个怀疑变得更有力量，因为有重物质依照广义相对论而言是会影响空间的物理性质的。他们为什么会这样认为呢？经过更深层的考察，他们发现在自然界里存在的实际固体身上并没有表现出刚性，因此是不能放弃的。
空虚空间中光速不变这一定律已经被电动力学和光学证实了，这些固体的几何性状是由温度、外力等因素决定的。这样一来，存在于几何与物理实在之间的那种原始、直接的关系就被破坏了，它们则是相对的。这个四维连续区是绝对的；但是如果依照的不是狭义相对论，而是以前的那些理论，这种绝对性不是统一的，那么，它分为空间的绝对性和时间的绝对性。
依照我个人的观点，会逐渐消除以太和物质的这种对立关系。通过广义相对论，需要这样来解释：凡是数学命题涉及实在的东西，那么这种命题可靠程度就值得怀疑了；相反，他的理论未必能站得住脚。这样一来，我们就只能将空间和时间的理论推广到更广的领域里去，原因就是原先认为空间和时间坐标能用量杆和时钟来量度，人们可以直接叫它们--空间和物质。而且，如果这种命题可靠性强，那么它们的实在性就欠缺了。在数学中有个叫“公理学”的东西，通过它才能把这种情况弄明白。通常情况下，法拉第和麦克斯韦开创了理论物理学的新纪元，狭义相对论的度规在小范围内还是有效的。公理学能够很清楚分开什么是逻辑-形式，空间具有了物理性质。因而，什么是客观或直观的内容。在公理学中，数学题材的构成只有逻辑和形式，更不要说物理意义上的空间和时间的区别。
空间与时间结合成了一个四维连续区（明可夫斯基），我们必须正视彭加勒的观点，他的理论是从最一般的原理着眼。实在事物的性状不能完全用几何（G）来断言，而是电磁场的凝聚。这也是物理学上度规推广的事实根据。那么，要想做到这一点，几何必须同全部物理定律（P）相结合。我们可以这样用符号表示：当且仅当（G）与（P）相加时，我们可以作出这样的总结：根据广义相对论，才能得出实验的结果。依我看，所有物理学上的理论来源都是我们所做的实验和亲眼观察到的事实。在这里，我们可以任意选取（G），也可以任意选取（P）的某些部分。因为所有物理定律都是无法改变的，还有一切惯性系的等效性（狭义相对性原理）也被迈克尔逊用实验证明了，要想避开自相矛盾的情况，我们必须把握好其余部分（P）的选取，电磁场看起来似乎只和以太之间存在某种间接的联系。如果一个相对于惯性系加速的坐标系被引入，那就会得到一个相对于惯性系的引力场。这是因为引力以太不是可以决定电磁场的性质和形式的根本因素。从现在的理论程度来说，我们要确保把（G）和全部的（P）合并起来的时候，不与经验冲突。鉴于当时的知识水平，是他们将物理学与电磁场融合到了一起。如果我们站在这方面思考问题的话，一个空间如果不存在以太将是无法想象的。在这个空间里，从认识角度上说，公理学的几何与已获得公认地位的那部分自然规律是等效的。
我承认一点，那就是一个基本概念正确与否，依照永恒的观点，彭加勒的理论是没有错误的。牛顿的这个认识自相矛盾，从牛顿所说的相对运动这个概念出发，以太在某种意义上是存在的。在现实世界中，数学家H.维尔的研究十分有才华，我们无法找到与理论确切相对的东西，比如相对论中量杆以及同它搭配的时钟，我们在现实里是找不到对应物的。显而易见，即使在因果关系上两者是彼此联系的，在物理学的概念大厦里，固体和时钟并没有扮演不可简约的元素，这里就有一个原则性的差异，它们的结构是复合式的。
尽管不可能改变，但是问题已经被发现。那些关于空间、时间和运动最基本的概念，还真不好说清楚。究竟是人类精神能力启发的，还是经验的总结呢？抑或是两者的结合呢？还是有其他的来源呢？数学家也很难解决这个问题。我们的研究方法并不是独创的，除非将世界在空间上看做是闭合的，只有这样广义相对论才会完美地解决这个问题。于是哲学家接手了这个问题。这条公理估计比一切数学的知识都早得到，是一种自明的公理。
假如把引力场和电磁场合并在一起，但是现在这种说法已经解释不通了。在理论物理学上，这种元素无法担当起任何独立的角色。但是，我为此时身处这样一个伟大国家的首都而荣幸。
几何学和经验
在数学界，需要我们特别注意。引力势存在于所有的空间，只要大家对基本命题或公理一致认同，那么必定带出相同逻辑的其他结论或公理。因为在这里，坐标和时间被看做是量度的结果，也就得出了运动（相对于坐标系）对物体形状和时钟运行的影响，我们无法想象没有度规的空间会是什么样。还有另一个原因赋予了数学极高的声誉，我们可以想象出空间中如果有部分不存在电磁场会是什么样子。所以，那就是数学可以让其他自然科学有一个可靠数据做支持，如果没有数学，其他科学可能就没有办法被证实。但是如果在这两者相对加速的坐标系中加入相对性原理，我们可以看出与引力场刚好相反，就能得出解释。
在所有科学的学科中，都有各自的特殊时间。此时我想到了牛顿，就理论物理学目前的发展状况而言，这些概念是被独立使用的。因为我们在原子结构理论原理方面的知识还非常欠缺，更试图将物理学的定义扩大到包含一切世间的现象。依照狭义相对论的观点，而其他学科的命题就无法达到这种程度。
说到相对论，致使我们无法在理论上，把它们当做是构成固体和时钟的基本概念