4．“韩信点兵”之谜
“韩信点兵”传说是我国汉朝名将韩信计算士兵数目的独特方法，先于外国约五百年。他不让士兵报数，也不是五个。十个地去数，而是让士兵列队行进，先是每排3人，然后每排5人，最后每排7人，只将所余的士兵数站着便知士兵的总数，写成题目就是：
“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问此物最小几何？”
答曰：“二十三。”
术曰：“三三数之剩二置一百四十，五五数之剩三置六十三，七七数之剩二置三十，并之得二百三十三，以二百十减之即得。”
分析：所求的数N应该是5和7的倍数，同时被3除后余2；是3和7的倍数，同时被5除后余3；是3和5的倍数，同时被7除后余2，同时满足上述三个条件的数中最小的数。
是5和7的倍数，同时被3除后余1的数是70。则余2的数就是70×2＝140；是3和7的倍数，同时被5除余1的是21，则余3的数就是21×3＝63；是3和5的倍数，同时被7除后余1的数是15，则余2的数就是15×2＝30。
所以，N＝70×2＋21×3＋15×2－105×2＝233－310＝23
5．古代升官试题
传说唐代尚书杨损，廉洁奉公，任人唯贤。有一次，要在两名小吏中提升一人，主管提升工作的官员感到很难决断，便请示杨损。杨损认为，作为一个官员，不仅要有高尚的品德，还要有一定的文化水平。于是，他说：“一个官员应具备的一大技能是速算。让我出题来考考他们，谁算得快就提升谁。”杨损出了一道题：
“有人在林中散步，无意中听到几个强盗在商讨如何分赃。他们说，如果每人分6匹布，则余5匹；每人分7匹布，则短少8匹。试问共有几个强盗几匹布？”两个小吏听过题目后，便用筹算解联立一次方程组。后来，先得出正确结果的小吏果真升了官，大家心服口服。
这个故事反映出我国古代人民对于解联立一次方程组的熟练程度。事实上，在2 000多年前的《九章算术》中已系统地叙述了联立一次方程组的解法，这是中国古代数学的杰出贡献之一。
《九章算术》是我国至今有传本的一部经典数学著作，内容极为丰富，它几乎集中了过去和当时的全部数学知识，将246个问题分为九章，所以叫做《九章算术》。
《九章算术》不是出自某一个人的手笔，不是一个时代的作品。它是经过历代名家的修订和增补，才逐渐成为定本的。它成书于何时目前学术界尚无统一结论，据推测起码在公元1世纪之前。《九章算术》对我国以及一些外国的数学发展有很大影响，直到16世纪我国的数学著作大都还是受它的体例的影响。
《九章算术》的第八章“方程”，给出了联立一次方程组的普遍解法，并且使用了负数，这在数学史上具有非常重要的意义。
我国古代是用算筹来运算的，未知数不用符号表示，只是将各个系数用算筹依次布列成方阵的形式。“程”是变量的总名，也有计量、考核、程式的意思。“方程”的名称，就来源于此。
《九章算术》第八章的第一题为：
“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”
“禾”指黍米，一“秉”即一捆，“上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗”就是说：三捆上等黍米，两捆中等黍米，一捆下等黍米，一共可打出黍米谷39斗。第八章中还有四元及五元的方程组，也是用类似的方法来解的。
在国外，线性方程组的完整解法，直到17世纪末才由微积分的发明人莱布尼茨着手拟定。可见，从时间上来说，《九章算术》的解法实是在世界数学史上一大光辉成就，值得中国人自豪！
自从《九章算术》提出了多元一次联立方程后，多少世纪没有显著的进步。贾宪、秦九韶、李治等人曾研究过一元高次方程。元朝杰出数学家朱世杰集前人之大成。建立了四元高次方程组理论，并称为“四元术”。他用天元、地元、人元、物元表示四个未知数，相当于现在的x、y、z、u。朱世芝的《四元玉鉴》一书，举例说明了一元方程、二元方程、三元方程、四元方程的布列方法和解法。其中有的例题相当复杂，数字惊人的庞大，不但过去从未有过，就是今天也很少见。可见朱世杰已经非常熟练地掌握了多元高次方程组的解法。
在外国，多元方程组虽然也偶然在古代的民族中出现过，例如古巴比伦人借助数表处理过某种二元二次方程组，但较系统地研究却迟至16世纪，1559年法国人彪特才开始用不同的字母A，B，C……来表示不同的未知数。而过去不同未知数用同一符号来表示，以致含混不清。正式讨论多元高次方程组已到18世纪，由探究高次代数曲线的交点个数而引起。1764年法国人培祖提出用消去法的解法，这已在朱世杰之后四五百年了。
6．五家共井
我国最早提出不定方程问题，它由“五家共井”引起。古代，没有自来水，几家合用一水井是常见的事。《九章算术》一书第八章第十三题就是“五家共井”问题：
今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足，如丙一绠；丙四绠不足，如丁一绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不足，如甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮。问井深、绠长各几何？
用水桶到井中取水，当然少不了绳索，“绠”就是指“绳索”。原题的意思是：
五家共用一水井。井深比2条甲家绳长还多1条乙家绳长；比3条乙家绳长还多1条丙家绳长；比4条丙家绳长还多1条丁家绳长；比5条丁家绳长还多1条戊家绳长；比6条戊家绳长还多1条甲家绳长。如果各家都增加所差的另一条取水绳索，刚刚好取水。试问井深、取水绳长各多少？
我国古代数学家在《九章算术》的基础上对不定方程做出了辉煌的成绩。“五家共井”问题是后来百鸡术及大衍求一术的先声。
“五家共井”问题，曾引起世界上很多数学家的注视。在西方数学史书中，把最早研究不定方程的功绩归于希腊丢番都。其实，他在公元250年左右才研究这些问题，要比我国迟200多年。
公元6世纪上半期，张丘建在他的《张丘建算经》中有一道百鸡问题：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何？
意思是，如果1只公鸡值5个钱；1只母鸡值3个钱；3只小鸡值1个钱。现用100个钱，买了100只鸡。问公鸡、母鸡、小鸡各多少？
数学史家评论说，一道应用题有多组答案，是数学史上从未见到过的，百鸡问题开了先例。《张丘建算经》中没有给出解法，只说：“术曰：鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三，即得。”意思是：如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。因为7只母鸡值钱21，4只公鸡值钱20，两者相差3只小鸡的价格。只要得出一组答案，就可推出其余两组。但这解法怎么来的？书中没有说明。因此，所谓“百鸡术”即百鸡问题的解法就引起人们的极大兴趣。
稍后，甄鸾在《数术记遗》一书中又提出了两个“百鸡问题”，题目意思与原百鸡问题相同，仅数字有所区别。到了宋代，著名数学家杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中也引用了类似的问题：
“钱一百买温柑、绿桔、扁桔共一百枚。只云温柑一枚七文，绿桔一枚三文，扁桔三枚一文。问各买几何？”
到了明清时代，还有人提出了多于三元的“百鸡问题”。不过，各书均与《张丘建算经》一样，没有给出问题的一般解法。
7世纪时，宋代有人对百鸡问题提出另一种解法，但只是数字的凑合。到了清代焦循在他的《加减乘除释》一书中指出其错误。之后，不断有人提出新的解法，但都没有完全得到普遍解决此类题目的通用方法。例如丁取忠在他的《数学拾遗》中给出一个比较简易的解法：先设没有公鸡。用100个钱买母鸡和小鸡共100只，得母鸡25只、小鸡75只。现在少买7只母鸡，多买4只公鸡和3只小鸡，便得第一组答案。同理可推出其余两组。直到19世纪，人们才把这类问题同“大衍求一术”结合起来研究。
百鸡问题是一个历史名题，在世界上有很大影响。在国外数学书中常可看到类似的题目。
7．仙鹤图之谜
传说宝华寺曾藏有一幅鲜为人知的仙鹤图。这仙鹤图为数海法师所作，在他临终前秘传给他的一位弟子，并嘱咐他死后49天才能打开。数海法师圆寂后，这位弟子总想打开图看看，但又不愿违背师父遗嘱。过了42天，实在坚持不下去了，当天半夜，他打开图一看，原来是张仙鹤图。画面上有7棵松树，每棵松树上均有7只仙鹤，松树下面写了一个黑色的“七”字，但有一棵松树例外，这松树上一只仙鹤也没有，松树下面写了一个红色的“七”字。
红色的“七”字是什么意思呢？弟子们无法理解。不过，因为数海法师神通广犬，精通算术。人们相信，图中必有奥秘。后来，有了负数概念，有人猜测，红色的“七”字，表示负数（－7）。但是，松树上有（－7）只仙鹤，又是什么意思呢？始终是个谜。自从秦始皇焚书坑儒后，宝贵的仙鹤图失传，这事情几乎被人们遗忘了。但是，过了二千多年，人们又想想了仙鹤图，这与下面的椰子问题有关。
5个水手带了一只猴子来到南太平洋的一个荒岛上，发现那里有一大堆椰子。由于旅途劳累，大家顾不上椰子，很快就睡觉了。第一个水手醒来后，把椰子分成五堆，余一只给了猴子，自己藏了一堆又去睡觉了。第二、第三、第四、第五个水手也陆续起来，和第一个水手一样，把椰子分成五堆，恰多一只给猴子，私藏一堆，再去入睡。天亮以后，大家发现椰子已剩下不多了，各人心里有数，但谁也不说。为了公平，大家把余下的椰子又分成五堆，每人得一堆，这时，巧得很，又余下一只，再给猴子。试问原先共有几只椰子？
这是一道世界有名的趣味数学题。
设最初共有椰子x只，天亮后大家一起分配时每人分得y只。
世界著名物理学家李政道在访问中国科技大学时，曾在少年班提到这个题目，并介绍了怀德海的解法。
怀德海是英国数理逻辑专家，对于上述椰子问题，他给出了一个异乎寻常的解法。
首先，从方程（＊）可看出，如果某数x1是方程的一个解，则x1＋15625也是方程的解。这一点我们也可用下面的方法来考虑，由于原有的椰子曾被连续6次分成5堆，因此如果某数是该方程的一个解时，则把此数加上5（上标6）（5（上标6）＝15625）后，仍旧是方程的解。通常人们解不定方程应用题，总是只注意它的正整数解，可是怀德海却与众不同，他的方法异乎寻常，他先借助负整数来帮忙，在找到一个负整数解之后，再过渡到正整数。就像在几何中引用辅助线、辅助角一样。
在方程（＊）中，设y＝－1，则可得：
1024x＝－4096，∴ x＝－4。
既然－4是这个不定方程的一个特解，则－4＋15 625也是方程的解。可见，所求的椰子数应是：
－4＋15625＝15621（只）。
怀德海自己说，他是用下面的想法“领悟”出－4是不定方程的一个特解的：
假定当初有－4只椰子，则在其中硬拿出一只来给猴子后，根据正、负数减法，还剩下－4－1＝－5（只），分成五堆，每堆便有－1只椰子。私自藏起一堆之后，还有四堆，每堆有－1只椰子，所以一共仍然是（－4）只椰子，这正好仍然回到没有分以前的情况。照这样分法，不仅5次、6次……可以一直分下去，都符合题目之要求。因此，在这个题目中，－4是一个神奇的数。
按照常理来说，每堆椰子数为“负数”是毫无意义的，但从纯数学的观点来看，却是能满足题中分配方法的，并且是能帮助解决问题的。它正像物理学中的“负质量”或“虚功”一样，在解决具体问题时是有用的。
怀德海的巧妙解法传到我国后，人们想起2000年前的仙鹤图。既然，一堆椰子的数目可以设想是负数，那么，一棵松树上的仙鹤的数目，也可设想为负数。可以推测，数海法师早就掌握了利用负数解决问题的高度技巧。
8．掉进漩涡里的数
三十多年前，日本数学家角谷静发现了一个奇怪的现象：一个自然数，如果它是偶数，那么用2除它；如果商是奇数，将它乘以3之后再加上1，这样反复运算，最终必然得1。
比如，取自然数N＝6，按角谷静的作法有：6÷2＝3，3×3＋1＝10，10÷2＝5，5×3＋1＝16，16÷2＝8，8÷2：4，4÷2＝2，2÷2＝1，从6开始经历了3→10→5→16→8→4→2→1，最后得1。
找个大数试试，取N＝16384。
16384÷2＝8192，8192÷2＝4096，4096÷2＝2048，2084÷2＝1024，1024÷2＝512，512÷2＝256，256÷2＝128，128÷2＝64，64÷2＝32，32÷2＝16，16÷2＝8，8÷2＝4，4÷2＝2，2÷2＝1，这个数连续用2除了14次，最后还是得1。
这个有趣的现象引起了许多数学爱好者的兴趣，一位美国数学家说：“有一个时期，在美国的大学里，它几乎成了最热门的话题，数学系和计算机系的大学生，差不多人人都在研究它。”人们在大量演算中发现，算出来的数字忽大忽小，有的过程很长，比如27算到1要经过112步，有人把演算过程形容为云中的小水滴，在高空气流的作用下，忽高忽低，遇冷成冰，体积越来越大，最后变成冰雹落了下来，而演算的数字最后也像冰雹一样掉下来，变成了1！数学家把角谷静这一发现，称为“角谷猜想”或“冰雹猜想”。
把它叫猜想，是因为到目前为止，还没有人能证明出按角谷静的作法，最终必然得1。
这一串串数难道一点规律也没有吗？观察前面作过的两串数：
6→3→10→5→16→8→4→2→1；
16384→8192→4096→2048→1024→512→256→128→64→32→16→8→4→2→1。
最后的三个数都是4→2→1。
为了验证这个事实，从1开始算一下：
3×1＋1＝4，4÷2＝2，2÷2＝1。
结果是1→4→2→1，转了一个小循环又回到了1，这个事实具有普遍性，不论从什么样自然数开始，经过了漫长的历程，几十步，几百步，最终必然掉进4→2→1这个循环中去，日本东京大学的米田信夫对从1到10995亿1162万7776之间的所有自然数逐一做了检验，发现它们无一例外，最后都落入了4→2→1循环之中！
计算再多的数，也代替不了数学证明。“角谷猜想”目前仍是一个没有解决的悬案。
其实，能够产生这种循环的并不止“角谷猜想”，下面再介绍一个：
随便找一个四位数，将它的每一位数字都平方，然后相加得到一个答数；将答数的每一位数字再都平方，相加……一直这样算下去，就会产生循环现象，现在以1998为例：
1（上标2）＋9（上标2）＋9（上标2）＋8（上标2）＝1＋81＋81＋64＝227，
2（上标2）＋2（上标2）＋7（上标2）＝4＋4＋49＝57，
5（上标2）＋7（上标2）＝25＋49＝74，
7（上标2）＋4（上标2）＝49＋16＝65，
6（上标2）＋5（上标2）＝36＋25＝61，
6（上标2）＋1（上标2）＝36＋1＝37，
3（上标2）＋7（上标2）＝9＋49＝58，
5（上标2）＋8（上标2）＝25＋64＝89。
下面再经过八步，就又出现89，从而产生了循环。
回数猜想是数学“黑洞”吗？