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第19章 归纳法(1)

归纳法,是论证的前提支持结论但不确保结论的推理过程。人的行为很大一部分是建立在归纳推理之上的。归纳推理从少数事例中概括出普遍性的命题。

归纳推理是一种由个别到一般的论证方法。它通过许多个别的事例或分论点,然后归纳出共有的特性,从而得出一个一般性的结论。归纳法可以先列举事例再归纳结论,也可以先提出结论再举例加以证明。前者即我们通常所说的归纳法,后者我们称为例证法。例证法就是一种用个别、典型的具体事例证明论点的论证方法。

方法示范:我们每天看到太阳从东方升起而得出结论说“太阳每天从东方升起”,我们看到了几只天鹅是白色的,就说“所有的天鹅是白色的”。这都是归纳推理。

归纳法不是一个严密的论证方法,因为只要有一个特例就能推翻了前面的结论。我们设想一下:主人每天给猪喂食,当猪看到主人来时,就意味着食物送来了,然而猪不能认定,主人来必然是喂食物。因为很可能的是,一天主人拿着刀杀它来了。这就是归纳法的困难。1.奇怪的数据【初级】

数学课上,老师正在教学生们如何测量,希望能够借此提高学生们的数学能力。他向学生解释说,大多数的东西都能被测量。随后老师布置了家庭作业,要求学生们自己完成一些测量的任务,并进行计算。如计算面积、温度、重量等。总之,凡是大家经常接触的东西都可以去测量。第二天,检查家庭作业时,老师发现明明的作业本上写着一些奇怪的数据。

7+10-59+7=48+17=1

6+8=24+11=35+7=12

老师大为恼火,把明明叫过来:“你是怎么计算的?6道题只做对了1道!”

但是明明却坚持自己是正确的,并作出了解释,听完解释后,老师不得不承认这些答案是正确的。你知道是为什么吗?

2.纸上的洞【初级】

如果把一张纸对折一下,然后用剪刀在折痕的中间剪一个洞,当你把纸片展开后,纸上就会出现一个洞。如果你把纸对折一下,再成直角对折一下,按照此方法对折6次,然后在最后折的一边中间剪一个洞,当把纸片展开后,会得到多少个洞?在剪之前先动脑子想一想。

3.神奇数表【初级】

有如下图所示的五张表,你在心里想一个数,这个数不能超过31。并请你指出,你想的这个数,都在哪个表中有,那么我就会知道你想的数是多少。这个表是怎么制出来的呢?

4.末尾两个数字是什么【初级】

76的76次方的最后两位数是多少?

5.拨开关【初级】

对一批编号为1~100,全部开关朝上(开)的灯依次进行以下操作:

凡是1的倍数,反方向拨一次开关;

2的倍数,反方向又拨一次开关;

3的倍数,反方向又拨一次开关;

……

依此类推。

问:最后为关熄状态的灯的编号。

6.找正确的图形【初级】

一个人在观察下图中的立体图形时,画下了不同角度的图形。但是其中只有一个是正确的。你知道是哪一个吗?

7.隐含的规律【初级】

1、3、7、8

2、4、6

5、9

你能猜出这3组数字间有何种关系吗?

提示:每一组数字都有一个相同的规律。

8.中央数字【初级】

1~8中哪个数字能填在下面的图案中?

9.同一数字【初级】

如下图所示,如果3个空格中是同一个数(一位数)的话,该是哪个数呢?

10.幸运的切割【初级】

你能否只用两刀就将这个马蹄形切成6块?

11.平分图形【初级】

你能否将这个不规则图形分成两个相同的部分?你又能否将这个图形分成4个相同的部分?有两种四等分的方法,其中一种不沿着方格线。

12.有名的数列【初级】

你知道问号处代表的数是什么吗?

1,1,2,3,5,8,13,21,?

13.猜字母【中级】

按照图中字母排列的逻辑,问号处该填哪一个字母?

14.五角星的数【中级】

找出下图中问号所代表的数。

15.图形填数【中级】

下图中的每一种符号均代表一定的数值。请问右侧的问号处应为什么数字?

16.填数字【中级】

你能看出最后一个三角形的右下角问号处应该是什么数字吗?

17.字母逻辑【中级】

依照下图中的逻辑,Z应该是白色还是黑色呢?

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXY

18.第1000根手指【中级】

从拇指开始数到小指,然后折回来接着数,到拇指后再折回去数(折回去数时小拇指与拇指都不重复计数),问第1000根手指是哪个呢?

19.数字箭靶【中级】

这箭靶上有一些数字,根据变化规律,写出空格中的数。

20.三子同行【中级】

把18枚棋子摆放在6×6的围棋盘上,每格只能放一枚,要使每列、每行都有3枚棋子。应该如何排列?

21.无交叉点【中级】

在图中,从A到a,从B到b,从C到c,从D到d,路线不能交叉,如何画出其行程路线来?

22.车费最低【中级】

点点家住A村,他要到B村的奶奶家,乘车路线有多种选择,交通工具不同,所需要的车费也就不同。图中标出的数字是各段的车钱(单位:元)。点点到奶奶家最少要花多少元?走的路线怎样?

23.分割立方体【中级】

有一个长宽高都是3厘米的立方体,在它的六个表面上都涂上油漆。现在将它锯成27块长宽高都是1厘米的小立方体。请问:小立方体中。三面有油漆、两面有油漆、一面有油漆和没有油漆的立方体各有几个?

24.欧拉的问题【中级】

要求你一笔画出由黑线勾勒出的完整图样。

你能画出全部11幅图吗?如果不能,哪一幅图画不出?

25.D图代表什么【高级】

如下图所示,如果A图代表12,B图代表9,C图代表6,那么你知道D图代表什么吗?

26.尾数有几个零【高级】

1×2×3×4×5×…×3000乘积尾数有多少个0?

27.有名的数列【高级】

你能推出问号处代表什么数吗?

1,3,4,7,11,18,29,?

28.倒金字塔【高级】

找出问号所代表的数。

194837265

5627384

43765

564

29.数字对调,乘积不变【高级】

(一)观察下列两个等式有何规律?

①12×42=21×24②13×62=31×26

(二)利用你所发现的规律,再写出3个类似的等式(两数皆为两位数)!

(三)若两数皆为两位数,请说明满足此规律的等式条件,并列出所有满足此规律的等式!

30.数学天才测验14题【高级】

天才测验是为少数天才准备的测验,题目的难度相当大,即使你能在一天内完成下面的14题,并做对2/3,你的智力水平也算很高的了!

填出所缺数字:

(1)3/5,7/20,13/51,21/104,?

(2)118,199,226,235,?

(3)7,10,?,94,463

(4)0,2,8,18,?

(5)260,216,128,108,62,54,?,27

(6)1,1,2,3,5,8,13,21,?

(7)2,20,42,68,?

(8)8,24,12,?,18,54

(9)7/2,4,7,14,49,?

(10)8,10,16,34,?

(11)-1,-1,1,11,49,?

(12)

3244512010010?(13)7,49,441,?

(14)?,3,4,6.8,12

31.海盗分金【超难】

五个海盗抢到了100颗宝石,每一颗都一样大小和价值连城。他们决定这么分:抽签决定自己的号码(1、2、3、4、5),然后由1号提出分配方案让大家表决,当且仅当半数或者超过半数的人同意时,按照他的方案进行分配,否则他将被扔进大海喂鲨鱼。如果1号死了,就由2号提出分配方案,然后剩下的4人进行表决,当且仅当半数或者超过半数的人同意时,按照他的方案进行分配,否则将被扔入大海喂鲨鱼。依此类推。每个海盗都是很聪明的人,都能很理智地判断,从而作出选择。那么第一个海盗提出怎样的分配方案才能使自己的收益最大化?

32.抓球决胜【超难】

桌子上有100个乒乓球,由两个人轮流拿球装入口袋,能拿到第100个乒乓球的人为胜利者。条件是:每次拿球至少要拿1个,但最多不能超过5个,请问:如果你是先拿球的人,你该拿几个?以后怎么拿就能保证你能得到第100个乒乓球?

33.称药【超难】

共有三类药,分别重1g、2g、3g,放到若干个瓶子中,现在能确定每个瓶子中只有其中一种药,且每瓶中的药片足够多。能只称一次就知道各个瓶子中都是盛的哪类药吗?

如果有4类药呢?5类呢?

如果是共有n类药呢(n为正整数,药的质量各不相同但各种药的质量已知)?你能只称一次就知道每瓶的药是什么吗?

注:当然是有代价的,称过的药我们就不用了。

34.硬币游戏【超难】

有一堆硬币,共500枚。玩游戏的双方轮流从中取走一枚、两枚或四枚硬币。谁取最后一枚硬币谁输。双方总是尽可能采取能使自己获胜的步骤;如果无法取胜,就尽可能采取能导致和局的步骤。问:玩这个游戏的两人中是否必定会有一人赢?如果这样,是先拿的人会赢,还是后拿的人会赢?

35.白球黑球【超难】

甲盒放有P个白球和Q个黑球,乙盒中放有足够的黑球。现每次从甲盒中任取两个球放在外面。当被取出的两球同色时,需再从乙盒中取一个黑球放回甲盒;当取出的两球异色时,将取出的白球再放回甲盒。最后,甲盒中只剩两个球,问剩下一黑一白的概率有多大?

36.一起滚的球【超难】

两只小球从一矩形边上的同一点出发沿矩形滚动,一个在矩形内部,一个在外部--直到它们最终都回到起点。

如果矩形的宽是小球周长的两倍,而矩形的长是宽的两倍,那么,从起点出发再回到起点,两个小球自身各转了几圈?

37.找规律【超难】

下面有一组数列,请找出它的规律来:

第一列:1

第二列:1,1

第三列:2,1

第四列:1,2,1,1

第五列:1,1,1,2,2,1

第六列:3,1,2,2,1,1

第七列:1,3,1,1,2,2,2,1

……

……

请写出第八列和第九列分别是哪些数字,另外请说明第几列会最先出现4这个数字?

38.抢报30游戏【超难】

婧婧和妮妮玩一种叫“抢30”的游戏。游戏规则很简单:两个人轮流报数,第一个人从1开始,按顺序报数,他可以只报1,也可以报1、2。第二个人接着第一个人报的数再报下去,但最多也只能报两个数,而且不能一个数都不报。例如,第一个人报的是1,第二个人可报2,也可报2、3;若第一个人报了1、2,则第二个人可报3,也可报3、4。接下来仍由第一个人接着报,如此轮流下去,谁先报到30谁胜。

婧婧很大度,每次都让妮妮先报,但每次都是她胜。妮妮觉得其中肯定有猫儿腻,于是坚持要婧婧先报,结果每次还是以婧婧胜居多。

你知道婧婧必胜的策略是什么吗?

39.不合理的选择【超难】

有甲、乙两个人,甲向乙提出,乙可以选择A盒(空)或B盒(1000元),但不能两者都选。甲保证:如果乙作出了一个不合理的选择,甲将给乙奖励10000元。甲、乙都是理性的人。我们假定甲总能够兑现诺言。

请问:乙应该如何选择?

40.穿过的格子【超难】

一个10×14的格子被分成140个1×1的小格子。一束激光从格子左上角照射到右下角。

不用数,你能否算出激光穿过了几个小格子?

41.七桥问题【超难】

在哥尼斯堡的一个公园里,有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。问是否可能从这四块陆地中任意一块出发,恰好通过每座桥一次,再回到起点?

答案

1.奇怪的数据

因为明明测量的是钟。

2.纸上的洞

32个洞。大家可以亲自动手试一下。

3.神奇数表

这是因为表是把1~31的数,变成以2n表示。例如11=20+21+23=1+2+8。将一个数由十进制改成二进制,对含有20(=1)的项放在A表,含有21(=2)的项放在B表,同理,含有22(=4)的项放在C表,含有23(=8)的项放在D表,含有24(=16)的项放在E表中,这样就造出此表。也就是说A表代表1,B表代表2,C表代表4,D表代表8,E表代表16。

如果你想的数在A、C、E中都有,只要把A、C、E代表的数字1、4、16相加即可,也就是21。

4.末尾两个数字是什么

只要你乘一下76×76就可以看出来规律了,因为76×76=5776,末尾两个数字仍然是76,也就是说无论乘以多少个76,最后末尾两个数字都是76。

5.拨开关

灯编号的方根为整数时开关在最后是朝下的,其他的朝上。这样1、4、9、16、25、36、49、64、81、100号朝下。

6.找正确的图形

图3。

原图有7个立方体排列在平面上,请注意它们排列的相对位置(深色的7个小立方体),只有图3是相同的。

7.隐含的规律

第一组数字发音都是第一声,第二组数字发音都是第四声,第三组数字发音都是第三声。

8.中央数字

2。

由上至下,每行数字之和依次为5,10,15。

9.同一数字

由于左边两数字的个位是相同的,而且右边的个位是9,因此两个相同的数字相乘的结果个位是9的只能是3或7。

把这两个数分别试一下也不麻烦。

93×3=279(不等于目标数值)。

97×7=679(符合条件)。

10.幸运的切割

11.平分图形

12.有名的数列

34。这是一个着名的斐波纳契数列,它的规律是每一个数等于前面两个数之和。这个数列有很多有趣的数学性质,所以变得非常有名。

13.猜字母

M。按照字母表的顺序,从字母A开始,顺时针方向,每两个字母之间均间隔三个字母。

14.五角星的数

12。五角星上面一个数加下面两个数等于中间两个数之和。

15.图形填数

68。各符号代表的数值如下:三角=7,圆=11,太阳=17,心=3。

16.填数字

7。每个三角形的数字排列规律是:三角的三个数相加,再乘以2,即为中间的数。问号处的数应该是:32÷2-(2+7)=7。

17.字母逻辑

Z应该是黑色的。所有的黑色的字母都能一笔写完,白色的字母则不行。

18.第1000根手指

按题目要求循环数的时候,是以8为循环。1000刚好能被8整除,所以数到第1000根手指的时候刚好是一圈,即为食指。

19.数字箭靶

外圈数是中圈数的2倍,中圈与内圈数的差是25。外圈数是70,64,72,56,内圈数是21,1,35,26。

20.三子同行

21.无交叉点

22.车费最低

所花车钱最少需要13元。走法:A村、3元、2元、4元、4元、B村。

23.分割立方体

三面有油漆的:8个(8个角);

两面有油漆的:12个(12条棱);

一面有油漆的:6个(6个面);

没有油漆的:1个(中心)。

24.欧拉的问题

当莱奥纳德·欧拉解决了哥尼斯堡七桥问题后,他发现了解决这类问题的普遍规则。秘密是计算到每个交点或节点的路径数目。如果超过两个节点有奇数条路径,那么该图形是无法一笔画出的。

在这个例子中,路径4和5是无法画出的。

如果正好有两个节点有奇数条路径,那么问题就有可能得到解决,也就是要以这两个节点分别为起点和终点。路径7便是这样的图。为了一笔画出它,你必须从底端的一角出发,并回到另一角。

25.D图代表什么

这个图表示的是钟表的两个指针的位置,第一个是12点,第二个是9点,第三个是6点,第四个是3点。所以D图代表的是3。

26.尾数有几个零

748个。