书城科普数理化之谜
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第17章 魔术数

1986年全国初中数学竞赛题第一题第3小题提到魔术数,原题是:将自然数N接写在每一个自然数的右面,如果得到的新数都能被N整除,那么N称为魔术数,在小于130的自然数中,魔术数的个数是。

乍看起来,问题较棘手,但认真分析,并不难解决。

大家在理解魔术数定义时,就注意这几个字:“接写”、“每一个”(即任何一个),“都能”。

例如,把偶数2接写在任何一个自然数右面得到的新数都是偶数,都能被2整除,所以2是魔术数。

怎样求魔术数呢?

设a为魔术数,把a接写在任何一个自然数x的右面得到的新数xa。

1.若a为一位数,则xa=10x+a能被a整除,即对任何一个自然数x,10x都能被a整除,就是10应是a的倍数,则a只能是1,2,5共3个。

2.若a为二位数,则xa=100x+a能被a整除,100应是a的倍数,a只能是10=1×10,20=2×10,25,50=5×10,共4个。

3.若a为三位数,则xa=1000x+a能被a整除,1000应是a的倍数,a只能是100=1×102,125,200=2×102,250=25×10,500=5×102,共5个。

同理,若a为四位数,a只能是1000=1×103,2000=2×103,5000=5×103,1250=125×10,2500=25×102。

一般地,当a为n位数(n≥3)时,魔术数可用以下形式表示:

1×10n-1,2×10n-1,5×10n-1,25×10n-2

125×10n-3。

这样,我们便可以求出小于任何给定的自然数的魔术数及其个数。小于130的魔术数共9个:1,2,5,10,20,25,50,100,125,小于10的魔术数为3个,小于100的魔术数为7个,小于1000的魔术数为12个,小于10000的魔术数为17个……

我们观察n位数的魔术数的个数:

当n=1时为3个;

当n=2时为4个;

当n=k(k≥3)时总是5个。

所以,n≥2时,n增加1,n位数的魔术数的个数就增加5个。或者说,n位数(n≥2)以内的魔术数的个数正好组成公差为5的等差数列:7,12,17,22,27,32,……。