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第2章

泥版的故事

19世纪前期,人们在亚洲西部伊拉克境内发现了50万块泥版,上面密密麻麻地刻有奇怪的符号。这些符号是古巴比伦人所用的文字,现在人们称它为“楔形文字”。科学家经过研究,弄清了泥版上所记载的,是古巴比伦人已获得的知识,其中包括了大量的数学知识。

古代人最初用石块、绳结,后来又用手指来记数。一个指头代表1,两个指头代表2,……,当数到10时,就得重新开始,巴比伦人由此产生了逢十进一概念。又因为,一年中月亮有12次圆缺,一只手又有5个指头,12×5=60。这样,他们又有了隔60进一的记数法。他们用表示1,表示10,从1到9是把写相应的次数,从10到50是把和结合起来写相应的次数。例如35写成。这种记数的方法,影响了后人,产生了现在我们所用的十进制和六十进制。例如,时间分为1小时=60分,1分=60秒。

巴比伦人还掌握了许多计算方法,并且编制各种数表帮助计算。从那些泥版上,人们发现巴比伦人已有了乘法表、倒数表、平方和立方表、平方根和立方根表。他们还运用了代数概念。

巴比伦泥版上还有这样的问题:兄弟10人分123米那的银子(米那及后面的赛克尔都是古代的重量单位,其中1米那=60赛克尔),已知他们分得的银子数成等差数列,而且第八个人的银子为6赛克尔,求每人所得的银子数量。从这样一些例子中,科学家认识到了巴比伦已知道等差数列、等比数列的概念。

巴比伦人也具备了初步的几何知识。他们会把不规则形状的田地分割为长方形、三角形和梯形来计算面积,也能计算简单的体积。他们非常熟悉等分圆周的方法,求得圆周与直径的比π≈3,还使用了勾股定理。

他们的成就对后来数学的发展产生了巨大的影响。

金字塔和纸草书

闻名世界的埃及金字塔,几百年来不仅以它宏伟高大的气势,吸引了无数旅游观光者,而且由于它设计的别致,建造的精巧,吸引了世界各地的科学家。据对最大的胡夫金字塔的测算,发现它原高1465米(现因损坏还高137米),基底正方形每边长233米(现为227米)。但是,各底边长度的误差仅仅是16厘米,只是全长的114600;基底直角的误差只有12″,仅为直角的127000。此外,金字塔的四个面正向着东南西北,底面正方形两边与正北的偏差,也分别只有2′30″和5′30″。

这么高大的金字塔,建造精度如此之高,这使得科学家深信,古埃及人已掌握了丰富的知识。当科学家破译了古埃及人流传下来草片上的文字后,这一猜想得到了证实。

原来,在尼罗河三角洲盛产一种形状如芦苇的水生植物——纸莎草,古埃及人把这种草从纵面剖成小条,拼排整齐,连接成片,压榨晒干,用来写字,在纸莎草上写的字,叫纸草书。

如今将这种纸草书的一部分整理出来。

1822年,一位名叫高博良的法国人弄清了它们的含义,使人们知道,古埃及人已学会用数学来管理国家和宗教事务,确定付给劳役者的报酬,求谷仓的容积和田地的面积,按土地面积估计应该征收的地税,计算修造房屋和防御工程所需要的砖块数;计算酿造一定量酒所需的谷物数量;等等。换成数学的语言就是,古埃及人已经掌握了加减乘除运算、分数的运算;他们解决了一元一次方程和一类相当于二元二次方程组的特殊问题。纸草书上还有关于等差数列和等比数列的问题。他们计算矩形、三角形和梯形的面积,长方体、圆柱体、棱台的体积等结果,与现代计算值相近。更令人惊奇的是,他们用公式A=(89d)2(d为直径)来计算圆面积,这相当于取π值为31605,这是非常了不起的。

由于具有了这样的数学知识,古埃及人建成金字塔就不足为怪了。

佛掌上的“明珠”

印度是个信奉佛教的国度,古印度人对古代数学的贡献,犹如印度佛掌上明珠那样耀眼、令人注目。

在公元前3世纪,印度出现了数的记号。在公元200年到1200年之间,古印度人就知道了数字符号和0符号的应用,这些符号在某些情况下与现在的数字很相似。此后,印度数学引进十进位制的数字和确立数字的位值制,大在简化了数的运算,并使记数法更加明确。如古巴比伦的小记即可以表示1,也可以表示160,而在印度人那里,符号1只能表示1单位,若表示十、百等,须在1的后面写上相应个数的0,现代人就是这样来记数的。

印度人很早就会用负数来表示欠债和反方向运动。他们还接受了无理数概念,在实际计算中把适用于有理数的运算步骤用到无理数中去。他们还解出了一次方程和二次方程。

印度数学在几何方面没有取得大的进展,但对三角学贡献很多。这是古印度人热衷于研究天文学的副产品。如在他们计算中已经用了三种三角量:一种相当于现在的正弦,一种相当于余弦,另一种是正矢,等于1cosa,现在已不采用。他们已经知道三角量之间的某些关系式。如sin2α+cos2α=1,cos(90°-α)=sinα等,还利用半角表达式计算某些特殊角的三角值。

数学之桥

阿拉伯人对古代数学的贡献,早现在人们最熟悉的1、2、…9、0十个数字,称为阿拉伯数字。但是,在数学发展过程中,阿拉伯人主要是吸收、保存了希腊和印度的数学,并将它传给欧洲,架起了一座“数学之桥”。

在算术上,阿拉伯人采用和改进了印度的数字记号和进位记法,也采用了印度的无理数运算,但放弃了负数的运算。代数这门学科的名称就是由阿拉伯人发明的。阿拉伯人还解出一些一次、二次方程,甚至三次方程,并且用几何图形来解释它们的解法。如对于方程x2+10x=39,他们的几何解法如下:作一个正方形,假定它的边长为未知数x,然后在经四边上,向外作x=52的矩形。将整个图形扩充成边长为x+5的正方形,整个大正方形面积等于边长为x的正方形面积与边为52的四个正方形面积及边长各为x、52的四个矩形面积之和。所以大正方形面积是x2+4x×52×x+4×52×52,即x2+10x+25。因为x2+10x=39,所以大正方形面积等于39+25即是64。因此,大正方形边长等于8,而x就是8-252=3。阿拉伯人还用圆锥曲线相交来解三次方程,这是一大进步。

阿拉伯人还获得了较精确的圆周率,得到了2π=6283185307195865,π已计算到17位。此外,他们在三角形上引进了正切和余切,给出了平面三角形的正弦定律的证明。平面三角和球面三角的比较完整的理论也是他们提出的。

阿拉伯数学作为“数字之桥”,还在于翻译并着述了大量数字文献,这些着作传到欧洲后,数字从此进入了新的发展时期。

数学的摇篮

巴比伦人和古埃及人积累了许多数学知识,但他们只能回答“怎么做”,却无法回答“为什么”要这么做的道理。古希腊人从阿拉伯人那里学到了这些经验,进行了精细的思考和严密的推理,才逐渐产生了现代意义上的数学科学。

第一个对数学诞生作出巨大贡献的是泰勒斯。他曾利用太阳影子计算了金字塔的高度,实际上就是利用了相似三角形的性质。他弄清了:直角彼此相等;等腰三角形的底角相等;圆被任一直径平分;如果两个三角形有一边及这边上的两个角对应相等,那么这两个三角形全等;而且证明了这些知识。这些知识现在看起来很简单,但在当时是非常了不起的。

在仄勒斯之后,以毕达哥拉斯为首的后批学者对数学作出了贡献。他们最出色的成就之一是发现了“勾股定理”,在西方被称为“华达哥拉斯定理”。正是用了这一定理,后来导致了无理数的发现,引起了第一次数学危机。

稍晚于毕达哥拉斯的芝诺,提出了四条着名的悖论,对以后数学概念的发展产生了重要的影响。

经过泰勒斯到芝诺等人的努力,古希腊的数学有了全新的发展。欧几里德吸取其中的精华,写成了《几何原本》这本在数学史上最有名的着作。今天人们所学的平面几何学知识,都来源于这本书。

继欧几里德之后,阿基米德开创了希腊数学发展的新时期,人们称之为亚历山大时期,阿基米德在数学方面的工作,远远超越了他那个时代,被后人称为“数学之神”。他设计过一种大数体系,即使整个宇宙都填满了细小的砂粒,也可以毫不费力地把砂子的粒数数出来。他通过作边数越来越多的内接正多边形、外切正多边形,算得了圆周率的值在31071到371之间。他得到了求面积和求体积的公式,还发明了以他名字命名的螺钱。

在阿基米德之后,古希腊的数学更加侧重于应用。在天文学发展的促进下,希帕恰斯、梅尼劳斯、托勒密创立了三角学。尼可马修斯写出了第一本专门的数论曲籍——《算术入门》,丢番图则系统地研究了各种方程,特别是各种不定方程。这们,初等数学的各个分支——算术、数论、代数、几何、三角全部建立了起来,这意味着,由巴比伦人、古埃及人孕育的数学“婴儿”,终于在古希腊的摇篮中诞生了。

几何学的奠基人

两三千年前,古埃及人生活在尼罗河两岸,生产力很发达,大片大片的土地被开发。但是,人类无法与大自然抗争,当时的人们对洪水束手无策。每年,当夏秋季节尼罗河泛滥时期,河两岸的田地就有不少被洪水淹没或因河床改道,好端端的一块农田就会被吞没一块。每到这时,就会有几个聪明的埃及人拿着木棍绳子又比又量,准确地计算法老租给人们土地面积的变化。渐渐地,埃及人积累了不少计算面积的公式。如:

矩形:A=ab(其中A是面积,a是长,b是宽。)三角形:A=ah/2(其中a是边长,h是高。)另外,还能计算出梯形面积。而当时计算圆形面积的公式(8d/9)2,和如今的计算公式极为相近。

但是,当时的人们还没有把这些公式命名为几何学。

到了公元前320年,有一位叫作欧德谟的学者,根据埃及人的经验,写了一本《几何学的发展史》。这部书只有残篇传到了现在。又过了大约20年,古希腊出了一位叫欧几里得的人,他根据前人的经验,经过自己的计算推理,写出了一本共13篇的《原本》(又称《几何原本》)。这是人类第一次出现的“几何”概念。

欧几里得在《原本》这本书里,首先给出的是定义和公理。比如,他的点、线、面的概念:

点是只有位置没有大小的;线是只有长度没有宽度的;面是只有长度和宽度的;平行线是同一平面内无限延长后永不相交的两条直线;……这些定义和现今的几何定义极为相似。

欧几里得还按照逻辑原理,推论出十分严谨美妙的五条公理(又称“公设”)。其中有:

从一点到另一任意点作直线是可能的;所有的直角都相等;a=b,b=c,则a=c;若a=b,则a+c=b+c;《原本》中还有关于圆的性质的讨论。如弦、切线、割线、圆心角等等。讨论了圆的内接和外接图形。其中,有一个命题是在一个圆内作正15边形。

据说,当时的天文学一直认为地球赤道面与地球绕日公转面的交角是24°,即是圆周的1/15。于是,欧几里得运用自己的智慧,作出了正15边形,这在当时是一个难度十分大的命题。

《原本》13篇中共有467个命题。这些命题和推理所建立起来的几何学体系是相当严谨和完整的,以至于连20世纪最伟大的科学家爱因斯坦都这样说:一个人当他最初接触欧几里得几何学时,如果不曾为它的明晰性和可靠性所感动,那么他是不会成为科学家的。

从《原本》的出现到现在,这部书出版过一千次以上,几乎世界上所有的杰出数学家,都是读着《原本》成长起来的。两千多年来,《原本》就像一尊坚固的宝塔,其坚固程度没有人能撼动它。因此,后人,尤其是科学界都把《原本》看作是一部经典奇书,而欧几里得的名字,也同《原本》一道流传千古。

欧几里得大约生于公元前330年,死于公元前275年。可惜的是,他一生的经历久已失传。

数学竞赛判真伪

1500年的某天,意大利北部的布里西亚,一户人家生了一个男孩,取名叫丰坦那。不久,意大利与法国发生战争,法军攻陷了布里西亚地区,大肆屠杀意大利人。丰坦那的父亲死于战祸,小丰坦那的头部和下颚也受了重伤。好在他的母亲是一位聪明而勇敢的妇女,她见儿子受伤,又没有医生看病治疗,她就想到了狗用舌头舔愈伤口的情景。于是,她也学着这个方法,用自己的舌头治好了儿子的伤口。

谁知痊愈后的小丰坦那却得了一个口吃的毛病,说话不连贯,人们就给他取个外号叫塔尔塔利亚(意译为口吃者)。久而久之,塔尔塔利亚就成了他的名字,丰坦那的名字也被人忘记了。

因为父亲死于战乱,塔尔塔利亚的家境十分贫寒,母亲无力送他上学读书。但是,塔尔塔利亚从小求知欲极强,母亲就在他父亲坟墓的石板上教他认字、算题。由于他天资聪明,意志坚强,竟独自学会了拉丁文和希腊文,对数学的钻研成绩更为突出。经过长期自学,成人后,他终于取得了成功,先后在他的家乡布里西亚和威尼斯等地从事教学工作。

塔尔塔利亚专门喜欢解各种数学难题,在这方面不少数学爱好者败在他的手下。

1530年的一天,有一位叫科拉的数学教师向塔尔塔利亚提出两道数学难题进行挑战:

1一个数的立方加上它的平方的3倍等于5,求这个数。实际上是一个一元三次方程,即:x3+3x2=52三个数,第二个数比第一个数多2,第三个数比第二个数多2,三个数的乘积是1000,求这三个数各是多少。实际上这也是一个一元三次方程,即:x(x+2)(x+2+2)=1000,展开后是x3+6x2+8x=1000当时,人类还没有找到三次方程的解法。塔尔塔利亚于是全身心地投入进去,废寝忘食地解这两道题。不久,居然让他解开了,并因此找到了解开一元三次方程的办法。于是,塔尔塔利亚向外公开宣称,他已经知道了一元三次方程的解法,但不能公开自己的步骤,他要保密。此时,有一位叫菲俄的人也宣称,他也找到了解开一元三次方程的办法,并宣称,他的方法是得到了当时着名数学家波伦那大学教授费罗的真传。

他们二人谁真谁假?谁优谁劣?于是,1535年2月22日,在意大利有名的米兰大教堂里,举行了一次仅有塔尔塔利亚和菲俄参加的数学竞赛。竞赛内容专门限于一元三次方程。他们各自给对方出30道题,谁解得对解得快谁就得胜。两个小时之后,塔尔塔利亚解完了全部30道题,而菲俄却一道题也解不出来。竞赛结果,塔尔塔利亚大获全胜。

原来,一元三次方程的问题是1404年被人引起来的。