小朋友，你们知道百科全书是什么吗？简单地说，就是把各类学科的各种知识集合在一起的书籍；而如果一个人被称作“百科全书”，那么就证明这个人具有多方面的学问和才华，不是一般人能够相比的。而在三百多年前的德国，就有这么一位被称作“百科全书”式的天才，他的名字叫莱布尼茨。
莱布尼茨1646年出生于德国的莱比锡，他父亲是莱比锡大学的哲学教授。从小开始，莱布尼茨就酷爱读书，还自学了几门外语，15岁的时候就进入了莱比锡大学，学习法学，同时还钻研哲学和数学。仅仅20岁，他就获得了博士学位和教授席位。然而他没有去当教授，而是投到了一位侯爵的门下，做起了法律和外交事务。
在日常事务的间隙，莱布尼茨继续进行着数学的研究。他曾被派往法国巴黎出使4年，在这4年中，他在巴黎认识了许多数学家和科学家，并研读了许多法国着名数学家的着作。在这段时间里，他发现了微积分的基本原理，从而确立了微积分的基本内容。有意思的是，英国科学家牛顿几乎是在此同时也发现了微积分原理，所以历史上把牛顿和莱布尼茨一起看做是微积分的发现者。
在此期间，莱布尼茨还被派到过伦敦出使。在那里，他结识了许多科学家，更加深刻地研究数学，并取得了很多成果，还被选为伦敦皇家学会会员。后来，他又被巴黎科学院选为院士。再后来他到德国的柏林工作，还在那里创办了柏林科学院并出任第一任院长。一身兼任欧洲三个最重要城市的科学院的院长或院士，可见莱布尼茨当时的威望之高，贡献之大。
莱布尼茨对数学的贡献尤其是巨大的。在数学上，有两个互相对立的领域：连续数学和离散数学，而莱布尼茨是数学史上为数不多的在这两方面都达到了最高水平的人。
莱布尼茨是杰出的数学家、物理学家、哲学家、法学家、历史学家、语言学家和地质学家。他在数学、逻辑学、力学、光学、航海学和计算机方面都做了重要的工作。所以，他才被称为“百科全书式的天才”。
一个迷人的猜想
数学家陈景润钻研哥德巴赫猜想的故事，小朋友们或许都已经听说过了，但是你们知道，哥德巴赫猜想到底是怎么回事吗？
哥德巴赫是一位生活在两百年前的德国外交官，他非常喜欢研究数学，并和当时着名的大数学家欧拉是好朋友。他俩常常在通信的时候探讨数学问题。
有一次，哥德巴赫在信中对欧拉说：“我想发表一个猜想，就是每个大奇数都可以写成三个奇质数的和。比如77，可以把它写成三个质数之和：77=53+17+7。再任取一个奇数，比如461，又可以写为461=449+7+5。这样，我发现，任何大于5的奇数都是三个质数之和。但这怎样证明呢？需要的是一般的证明，而不是个别的检验。”
不久，欧拉就回信了，信上说：“虽然现在我还不能证明它，但我感觉它一定是正确的！”而欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶数都是两个质数之和。但是，这个命题欧拉同样也没有能够给予证明。现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。
这个猜想看似简单，实际上要想证明却十分困难，曾经有人说，它的困难程度可以和任何没有解决的数学问题相比。两百多年来，尽管许许多多的数学家为解决这个猜想付出了无数的努力，但到现在为止它仍然是一个既没有得到正面证明也没有被推翻的命题。数学家们试验了从1000，到3亿3000万的所有数，都肯定了哥德巴赫猜想是正确的。
而近百年来，在哥德巴赫猜想的证明上更是取得了很大的进展。一位数学家指出，任何整数都可以用一些质数的和来表示，而加数的个数不超过800000。后来另一位数学家取得了进一步的成果，他证明了任何一个相当大的奇数都可以用三个质数的和来表示。而中国数学家陈景润的成果则更加深入，他证明了每一个充分大的偶数都可以表示为一个质数与另一个自然数之和，而这另一个自然数可以表示为至多两个质数的乘积。通常简称这个结果为“大偶数可表为(1+2)”。
哥德巴赫猜想被誉为“一个迷人的猜想”，“数学王冠上的明珠”，它等待着更多的数学家去努力摘取。
诸葛亮秘传手稿
诸葛亮是三国时代刘备的军师，博学多才，神机妙算。古典长篇小说《三国演义》里，讲到诸葛亮在出师与魏兵打仗的过程中，身患重病，手下的大将姜维到行军帐里看望他。诸葛亮对姜维说：
“……吾平生所学，已着书二十四篇，计十万四千一百一十二字，内有八务、七戒、六恐、五惧之法。吾遍观诸将，无人可授，独汝可传我书。切勿轻忽！”
从这段话里知道，诸葛亮秘传给姜维的手稿有24篇，共104112字，大概估计一下，就可以知道平均每篇四千多字。
不做除法，能否知道每篇的平均字数是不是整数？
52年与17秒
我们已经讲过了“龟背上的图案”的故事，把龟背上所表示的数填入一个3×3的正方形中，不管是把横着的3个数相加，还是把竖着的3个数相加，或是把斜着的3个数相加，其和都等于15。我国古代把这个图叫做“九宫图”，而国外叫做“幻方”。
“幻方”都是正方形的，有没有其他形状的“幻方”呢？上世纪初，有个叫做亚当斯的人，他提出要排出“六角幻方”，就是把从1到19填进排成正六边形的19个圆圈中，使得横着、斜着在一条直线上的3个数、4个数或5个数相加，其和都相等。
亚当斯本人不是数学家，他在一家铁路公司的阅览室工作。他制作了19块小圆板，上面分别写上1至19，白天工作，晚上就摆弄这些小圆板。谁知把幻方摆出来，竟是这样的困难。亚当斯从1910年开始摆，一直摆到1957年，花了47年的功夫。亚当斯已经从一个小伙子，成为一个白发苍苍的老人，还是没有把六角幻方摆出来。
有一次，亚当斯生病住院了，在病床上，他还是不停地摆弄着19块小圆板，忽然有一次，竟然成功了！他激动极了，顾不上有病，急忙下床，把这个六角幻方记录下来。没过几天，他病愈出院了。谁知，在回家的路上，他也许是兴奋过度了，竟然把19块小圆板和记录六角幻方的那张纸一起给弄丢了。而回到家，亚当斯再回忆当时排出的幻方，怎么也记不起来了。
不过，亚当斯仍旧不灰心，他还是继续研究。又用了5年时间，在1962年2月的一天，他再一次排出了六角幻方。
亚当斯用了52年排出六角幻方的事情传出，许多人都佩服他的毅力和不屈服的精神。1969年，一位叫做阿莱尔的大学生使用电脑对六角幻方进行了重新填写，仅用了17秒的时间，就把六角幻方填好了。电脑的威力竟是这样大！不仅如此，阿莱尔还发现，这个六角幻方有20种不同的填法呢！
英雄追乌龟
古希腊传说中有个叫阿基里斯的英雄，他是一个非常能奔跑的天神。而当时有一位叫做芝诺的哲学家却说：阿基里斯跑得再快，也追不上一只慢吞吞的乌龟。这是怎么回事呢？
芝诺说：让阿基里斯和乌龟举行一场赛跑，让乌龟在阿基里斯前头1000米开始。假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍，当比赛开始的时候，阿基里斯跑了1000米，这个时候乌龟跑了100米，这就是说仍然在阿基里斯前面100米。当阿基里斯跑了下一个100米的时候，乌龟依然在他前面10米。阿基里斯再跑10米，乌龟又在他前面1米……阿基里斯能够继续逼近乌龟，但他决不可能追上它。小朋友一定会认为，芝诺的话一定有错误的地方：一个跑得快的人怎么可能追不上一只乌龟呢？不过，谁能说出，不对的地方在哪儿吗？
从阿基里斯开始追赶乌龟时，阿基里斯和乌龟二者的位置算起，在阿基里斯追赶乌龟的整个过程中，阿基里斯到达了乌龟的新的位置时，乌龟会到达一个更新的位置。于是，在阿基里斯追赶乌龟的过程中，阿基里斯与乌龟都会到达无穷多个位置，把每两个相邻位置之间的距离全部加起来，所得到的就是在阿基里斯追赶乌龟的过程中他们二者分别跑过的总路程：
阿基里斯跑过的总路程是1+01+001+0001+……=10／9(千米)
乌龟跑过的总路程是01+001+0001+……=1／9(千米)
然而芝诺犯了一个错误：他把阿基里斯追赶乌龟的位置变化过程和时间变化过程混为一谈了。
阿基里斯在追赶乌龟时所经过的1千米+01千米+001千米+0001千米+……这个无穷的位置变化过程不需要无限长的时间。10／9千米除以1千米／小时=10／9小时，也就是说阿基里斯追赶乌龟的无穷的位置变化过程只需要10／9小时就完成了。在10／9小时之内，芝诺的说法成立，即：阿基里斯每到达乌龟的一个位置时，乌龟又爬到了一个新位置。但是在10／9小时之后，就不会再有这样的情况发生了，如果阿基里斯继续跑的话，他很快就会把乌龟远远甩下的。
天赋+勤奋=高斯的“天才”
高斯很早就展现出过人的才华，三岁时他就能指出父亲账册上的错误。但是他父亲是个“大老粗”，认为只有力气才能挣钱，学问这种劳什子对穷人是没有用的。所以，高斯一边读书，一边还要帮父亲干活。
高斯的老师去拜访高斯的父亲，要他让高斯接受更高的教育，但高斯的父亲太固执了，认为儿子应该像他一样，做个泥水匠，而且也没有钱让高斯继续读书，最后的结论是——去找有钱有势的人当高斯的赞助人，虽然他们不知道要到哪里找。经过这次的访问，高斯被免去了每天晚上织布的工作，每晚和老师讨论数学，但不久之后，老师也没有什么东西可以教高斯了。
1788年高斯不顾父亲的反对进了高等学校，数学老师看了高斯的作业后，就要他不必再上数学课。
高斯虽然有天赋，但他并没有就此骄傲，反而更加勤奋努力地工作。他对工作的痴迷，到了一种不可思议的程度。当他的妻子病危的时候，他还在书房里埋头工作，女仆急急忙忙地来找他：“先生，如果您不马上过去，就不能见她最后一面了。”高斯怎么回答的呢？他说：“我马上就要结束这工作了，叫她再等一下，等到我过去。”是不是让人看了既好笑又心酸呢？其实，高斯并不是不爱妻子，不过他还是最爱自己的工作，把工作看得比什么都重要。
人们一直把高斯的成功归功于他的“天才”，他自己却说：“假如别人和我一样深刻和持续地思考数学真理，他们会做出同样的发现。”
速算奇人
许多人有着惊人的心算能力，有的是通过某种速算法而取得的，有的则是天生的。
我们先说说第一种。话说有一天，物理学家爱因斯坦生病了，一位朋友去看他，为了给他解解闷，给他出了道乘法题。
朋友问：“2974×2926得多少？”
爱因斯坦很快地说出：“8701924。”
完全正确！朋友不禁惊讶：“你是怎么算得这么快的呢？”
原来，爱因斯坦用的是一种速算法。他发现74+26=100，所以就先用29×30，等于870，而74×26=(50+24)(50-24)=1924，把这两个答数接起来，就得了8701924。
我们再说第二种。有些人天生就有着速算的天才，一百五十多年前，在英国发现了一个叫亨利的10岁男孩，他擅长心算，一位科学家给他出了一道题：365，365，365，365，365，365乘以365，365，365，365，365，365等于多少？
大家都认为这是一道很难的题，亨利一定算不上来，谁知亨利思索了一会儿，便报出了答案：
133，491，850，208，566，925，016，658，299，941，583，225。
几个大人手忙脚乱地用手算了半天，惊奇地发现：亨利报出的答案完全正确！
不要说是手算，有的时候，一些速算奇人的心算速度是如此之快，即使是别人用计算工具，也赶不上。1944年，电子计算机的创始人冯·诺伊曼和另两位物理学家费米、范曼在一起加紧原子弹的研制，有时喜欢用计算尺的费米、喜欢用手摇计算机的范曼和喜欢用心算的冯·诺伊曼三个人同时算一道题，结果总是冯·诺伊曼最先算完，而且算得准确。费米和范曼都称赞道：“冯·诺伊曼就像是一台惊人的计算机啊！”
爱因斯坦奇特的记忆方式
一天，爱因斯坦的女友打来电话。
“我的电话号码又更换了，真难记清，您记好，”女友说。
“好，我记下来。”爱因斯坦回答，“24361。”
“这有什么难记的？两打与19的平方！好啦，我记住了！”
爱因斯坦说完，又不无遗憾地告诉对方，自己的电话号码也换了。
不过他并没有直接告诉对方具体号码是多少。而是说：原来和新换的电话号码都是4位数。新号码正好是原来号码的4倍，而且原来的号码从后面倒着写正好是新号码。
请问你可知道这个新电话号码是多少吗？
掉进漩涡里的数
30多年前，日本数学家角谷静发现了一个奇怪的现象：一个自然数，如果它是偶数，那么用2除它；如果商是奇数，将它乘以3之后再加上1，这样反复运算，最终必然得1。
比如，取自然数6，按角谷静的作法是：6÷2=3，3×3+1=10，10÷2=5，3×5+1=16，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1。从6开始经历了3→10→5→16→8→4→2→1，最后得1。
这个有趣的现象引起了许多数学爱好者的兴趣。人们在大量演算中发现，算出来的数字忽大忽小，有的过程很长，比如27算到1要经过112步。有人把演算过程形容为云中的小水滴，在高空气流的作用下，忽高忽低，遇冷成冰，体积越来越大，最后变成冰雹落了下来，而演算的数字最后也像冰雹一样掉下来，变成了1，数学家把角谷静这一发现，称为“角谷猜想”或“冰雹猜想”。
到目前为止，还没有人能证明出按角谷静的做法，最终必然得1。
退位让贤的好老师
牛顿经常回忆说：“巴罗博士当时讲授关于运动学的课程，也许正是这些课程促使我去研究这方面的问题。”
这个巴罗博士，就是牛顿的恩师，是第一个发现牛顿天才的人，也是把他带到科学殿堂的人。
牛顿19岁时进入剑桥大学，学校给他减了一部分的学费。他自己还为学校做杂务，来付剩下的学费。在这里，牛顿开始接触到大量科学着作，经常参加学院举办的各类讲座，包括地理、物理、天文和数学。
牛顿的第一任教授伊萨克·巴罗是个博学多才的学者。这位学者独具慧眼，看出了牛顿具有深邃的观察力、敏锐的理解力。于是将自己的数学知识，全部传授给牛顿，并把牛顿引向了近代自然科学的研究领域。
当时，牛顿在数学上很大程度是依靠自学。他学习了欧几里德的《几何原本》，在他看来那太容易了；然后他又读笛卡儿的《几何学》，沃利斯的《无穷算术》，巴罗的《数学讲义》及韦达等许多数学家的着作。
1664年，牛顿被选为巴罗教授的助手。第二年，他获得了剑桥大学学士学位。