推算一下兔子的对数是很有意思的。为了叙述更有条理，我们假设最初的一对兔子出生在头一年的12月份。显然，1月份里只有1对兔子；到2月份时，这对兔子生了1对小兔，总共有2对兔子；在3月份里，这对兔子又生了1对小兔，总共有3对小兔子；到4月份时，2月份出生的兔子开始生小兔了，这个月共出生了2对小兔，所以共有5对兔子；在5月份里，不仅最初的那对兔子和2月份出生的兔子各生了1对小兔，3月份出生的兔子也生了1对小兔，总共出生了3对兔子，所以共有8对兔子……照这样继续推算下去，当然能够算出题目的答案，不过，斐波拉契对这种方法很不满意，他觉得这种方法太繁琐了，而且越推算到后面情况越复杂，稍一不慎就会出现差错。于是他又深入探索了题中的数量关系，终于找到了一种简捷的解题方法。
斐波拉契把推算得到的头几个数摆成一串。
1，1，2，3，5，8……这串数里隐含着一个规律，从第3个数起，后面的每个数都是它前面那两数的和。而根据这个规律，只要作一些简单的加法，就能推算出以后各个月兔子的数目了。
这样，要知道1年后兔子的对数是多少，也就是看这串数的第13个数是多少。由5+8=13，8+13=21，13+21=34，21+34=55，34+55=89，55+89=144，89+144=233，不难算出题目的答案是233对。
按照这个规律推算出来的数，构成了数学史上一个有名的数列。大家都叫它“斐波拉契数列”。这个数列有许多奇特的性质，例如，从第3个数起，每个数与它后面那个数的比值，都很接近0618，正好与大名鼎鼎的“黄金分割律”相吻合。人们还发现，连一些生物的生长规律，在某种假定下也可由这个数列来刻画呢。
托尔斯泰问题
19世纪时，俄国有位大文豪叫列夫·托尔斯泰。他的作品形象生动逼真，心理描写细腻，语言优美，用词准确鲜明，对欧洲和世界文学产生过巨大影响。如《战争与和平》、《复活》等等，至今仍然拥有千千万万的读者。
这位大文豪又是一个有名的“数学迷”。每当创作余暇，只要见到了有趣的数学题目，他就会丢下其他事情，沉湎于数学演算之中。他还动手编了许多数学题，这些题目都很有趣而且都不太难，富于思考性，因而在俄罗斯少年中广为流传。例如：
一些割草人在两块草地上割草，大草地的面积比小草地大1倍。上午，全体割草人都在大草地上割草。下午他们对半分开，一半人留在大草地上，到傍晚时把剩下的草割完；另一半人到小草地上去割草，到傍晚还剩下一小块没割完。这一小块地上的草第二天由一个割草人割完。假定每半天的劳动时间相等，每个割草人的工作效率也相等。问共有多少割草人？
这是托尔斯泰最为欣赏的一道数学题，他经常向人提起这个题目，并花费了许多时间去寻找它的各种解法。下面这种巧妙的算术解法，相传是托尔斯泰年轻时发现的。
在大草地上，因为全体人割了一上午，一半的人又割了一下午才将草割完，所以，如果把大草地的面积看作是1，那么，一半的人在半天时间里的割草面积就是1/3。
在小草地上，另一半人曾工作了一个下午。由于每人的工效相等，这样，他们在这半天时间里的割草面积也是1/3。
由此可以算出第一天割草总面积为4/3。
剩下的面积是多少呢？由大草地的面积比小草地大1倍，可知小草地的总面积是1/2。因为第一天下午已割了1/3，所以还剩下1/6。这小块地上的草第二天由1个人割完，说明每个割草人每天割草面积是1/6。
将第一天割草总面积除以第一天每人割草面积，就是参加割草的总人数。
43÷16=8(人)后来，托尔斯泰又发现可以用图解法来解答这个题目，他对这种解法特别满意。因为不需要作更多的解释，只要画出了这个图形，题目的答案也就呼之即出了。
奇特的墓志铭
在大数学家阿基米德的墓碑上，镌刻着一个有趣的几何图形：一个圆球镶嵌在一个圆柱内。相传，它是阿基米德生前最为欣赏的一个定理。
在数学家鲁道夫的墓碑上，则镌刻着圆周率π的35位数值。这个数值被叫做“鲁道夫数”，它是鲁道夫毕生心血的结晶。
大数学家高斯曾经表示，在他去世以后，希望人们在他的墓碑上刻上一个正17边形。因为他是在完成了正17边形的尺规作图后，才决定献身于数学研究的……不过，最奇特的墓志铭，却是属于古希腊数学家丢番图的。他的墓碑上刻着一道谜语般的数学题：
过路人，这座石墓里安葬着丢番图。他生命的1/6是幸福的童年，生命的1/12是青少年时期。又过了生命的1/7他才结婚。婚后5年有一个孩子，孩子活到他父亲一半的年纪便死去了。孩子死后，丢番图在深深的悲哀中又活了4年，也结束了尘世生涯。过路人，你知道丢番图的年纪吗？”
丢番图的年纪究竟有多大呢？
设他活了X岁，依题意有：16X+112X+17X+5+12X+4=X。
这样，要知道丢番图的年纪，只要解出这个方程就行了。
这段墓志铭写得太妙了。谁想知道丢番图的年纪，谁就得解一个一元一次方程；而这又正好提醒前来瞻仰的人们，不要忘记了丢番图献身的事业。
在丢番图之前，古希腊数学家习惯用几何的观点看待遇到的所有数学问题，而丢番图则不然，他是古希腊第一个大代数学家，喜欢用代数的方法来解决问题。现代解方程的基本步骤，如移项、合并同类项、方程两边乘以同一因子等等，丢番图都已知道了。他尤其擅长解答不定方程，发明了许多巧妙的方法，被西方数学家誉为这门数学分支的开山鼻祖。
丢番图也是古希腊最后一个大数学家，遗憾的是，关于他的生平，后人几乎一无所知，即不知道他生于何地，也不知道他卒于何时，幸亏有了这段奇特的墓志铭，才知道他曾享有84岁的高龄。
推算科学家的年龄
一位科学家在几年前逝世，逝世时的年龄是他出生年数的129。如果这位科学家在1955年主持过一次学术讨论会，求他当时的年龄。
分析：要想求出这位科学家在1955年时的年龄，首先必须知道他在哪一年出生。而这个出生年数应满足条件：是29的倍数；小于1955。把小于1955的29的倍数罗列出来：
1943，1914，1885，1856……在这些数中，哪一个是这位科学家的出生年数呢？如果是1885，那么科学家在1955年的年龄就是：1955-1885=70，但他逝世时的年龄却是1885÷29＝65，这显然是个矛盾。即科学家不能在1885年出生；同样的方法可以说明在比1885年更早的年数里出生也不行。现在，还剩下1943和1914两个数。如果在1943年出生，不难知道学者在1955年的年龄为12岁，这是不符合事实的，因为科学家不可能的情况都排除，就可以知道出生年数为1914年，1955年时他的年龄为41岁。解决这个问题的基本思路就是“筛”法，其中也运用了归谬法的思路。
谁的算法对
伊格纳托夫是前苏联着名的科普作家，他一生写下了许多题材新颖、内容丰富、形式活泼的作品，伐木人的争论是其作品中的一道题。
尼基塔和巴维尔是两个伐木人。有一天，俩人干完活正准备吃饭，迎面走来一个猎人：“你们好哪，兄弟们！我在森林里迷了路，离村庄又远，饿得心慌，请分给我一些吃的吧！”
“行啊，行啊，你坐下吧！尼基塔有4张饼，我有7张饼，咱们在一起凑合着吃吧”巴维尔热情地说。尼基塔也随声附和着。于是三人平均分吃了11张饼。吃过饭，猎人摸出11个戈比，说道：“请别见怪，我身上只有这些钱了，你俩商量着分吧！”
猎人走后，两个伐木人争论起来。尼基塔说：“我看这钱应该平分！”巴维尔分驳说：“11张饼的钱是11个戈比。正好是1张饼1个戈比，你应得4个，我应得7个！”
他们俩的算法，谁的对呢？显然尼基塔的算法是错的，两人带的饼的数目不同，当然分得的钱也应不同。再看巴维尔的算法：11张饼，11个戈比，每张饼1个戈比，看起来非常合理，如果问题是“猎人用11个戈比买了11张饼”，那么巴维尔的算法的确是正确的。可问题是“3个人平均分吃了11张饼，并且尼基塔和巴维尔带的饼又不一样多”，实际上，11张饼平均分给3个人，就是说，每人吃了113张饼。尼基塔有4张饼，自己吃了113张饼，他给猎人吃了4-113=13张。而巴维尔也吃了113张，他分给猎人7-113=103张。
猎人吃了113张饼，付给11个戈比，也就是说，每次13张饼猎人付给一个戈比。他吃了尼基塔13张饼，故尼基塔应得1戈比，他吃了巴维尔103张饼，巴维尔应得10戈比，两个人的算法都错了。
三等分角问题
只准用直尺和圆规，你能将一个任意的角两等分吗？
这是一个很简单的几何作图题。几千年前，数学家们就已掌握了它的作图方法。
在纸上任意画一个角，以这个角的顶点O为圆心，任意选一个长度为半径画弧，找出这段弧与两条边的交点A、B。
然后，分别以A点和B点为圆心，以同一个半径画弧，只要选用的半径比A、B之间的距离的一半还大些，这两段弧就会相交。找出这两段弧的交点C。
最后，用直尺将O点与C点联接起来。不难验证，直线OC已经将这个任意角分成了相等的两部分。
显然，采用同样的方法，是不难将一个任意角4等分、8等分或者16等分的；只要有耐心，将一个任意角512等分或者1024等分，也都不会是一件太难的事情。
那么，只准用直尺与圆规，能不能将一个任意角3等分呢？
这个题目看上去也很容易，似乎与两等分角问题差不多。所以，在2000多年前，当古希腊人见到这个题目时，有不少人甚至不假思索就拿起了直尺与圆规……一天过去了，一年过去了，人们磨秃了无数支笔，始终也画不出一个符合题意的图形来！
由2等分到3等分，难道仅仅由于这么一点小小的变化，一道平淡无奇的几何作图题，就变成了一座高深莫测的数学迷宫？
这个题目吸引了许多数学家。公元前3世纪时，古希腊最伟大的数学家阿基米德，也曾拿起直尺与圆规，用这个题目测试过自己的智力。
阿基米德想出了一个办法。他预先在直尺上记一点P，令直尺的一个端点为C。对于任意画的一角，他以这个角的顶点O为圆心，以CP的长度为半径画半个圆，使这半个圆与角的两条边相交于A、B两点。
然后，阿基米德移动直尺，使C点在AO的延长线上移动，使p点在圆周上移动。当直尺正好通过B点时停止移动，将C、P、B三点连接起来。
接下来，阿基米德将直尺沿直线CPB平行移动，使C点正好移动到O点，作直线OD。
可以检验，AOD正好是原来的角AOB的1／3。也就是说，阿基米德已经将一个任意角分成了3等分。
但是，人们不承认阿基米德解决了三等分角问题。
为什么不承认呢？理由很简单：阿基米德预先在直尺上作了一个记号P，使直尺实际上具备有刻度的功能。这是一个不能容许的“犯规”动作。因为古希腊人规定：在尺规作图法中，直尺上不能有任何刻度，而且直尺与圆规都只准许使用有限次。
阿基米德失败了。但他的解法表明，仅仅在直尺上作一个记号，马上就可以走出这座数学迷宫。数学家们想：能不能先不在直尺上作记号，而在实际作图的过程中，逐步把这个点给找出来呢……古希腊数学家全都失败了。2000多年来，这个问题激动了一代又一代的数学家，成为一个举世闻名的数学难题。笛卡儿、牛顿等许许多多最优秀的数学家，也都曾拿起直尺圆规，用这个难题测试过自己的智力……无数的人都失败了。2000多年里，从初学几何的少年到天才的数学大师，谁也不能只用直尺和圆规将一个任意角三等分！一次接一次的失败，使得后来的人们变得审慎起来。渐渐地，人们心中生发出一个巨大问号：三等分一个任意角，是不是一定能用直尺与圆规作出来呢？如果这个题目根本无法由尺规作出，硬要用直尺与圆规去尝试，岂不是白费气力？
以后，数学家们开始了新的探索。因为，谁要是能从理论上予以证明：三等分任意角是无法由尺规作出的，那么，他也就解决了这个着名的数学难题。
1837年，数学家们终于赢得了胜利。法国数学家闻脱兹尔宣布：只准许使用直尺与圆规，想三等分一个任意角是根本不可能的！
这样，他率先走出了这座困惑了无数人的数学迷宫，了结了这桩长达2000多年的数学悬案。
化圆为方问题