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第9章 《算学启蒙》:朱世杰

朱世杰字汉卿,号松庭,是元代数学家、教育家,毕生从事数学教育,有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉。宋元时期,中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦(九韶)、李(冶)、杨(辉)、朱(世杰)四大家”,朱世杰就是其中之一。他平生勤力研习《九章算术》,旁通其他各种算法。

13世纪末,历经战乱的宋朝被元王朝所统一,遭到破坏的经济和文化又很快繁荣起来。元朝统治者为了兴邦安国,便尊重知识,选拔人才。有一天,风景秀丽的扬州瘦西湖畔,来了一位教书先生,在寓所门前挂起一块招牌,上面用大字写着:“燕山朱松庭先生,专门教授四元术。”不几天,朱世杰门前门庭若市,求知者络绎不绝,就在朱世杰在接待学生报名之时,突然一声声叫骂声引起他的注意。

只见一穿绸戴银的半老徐娘,追着一年轻的姑娘,边打边骂:“你这贱女人,大把的银子你不抓,难道想做大家闺秀,只怕你投错了胎,下辈子也别想了。”那姑娘被打得皮开肉绽,连内身衣服都被撕坏了。姑娘蜷成一团,任凭她打,也不跟她回去。朱世杰路见不平,便上前询问,那半老徐娘见冒出一个爱管闲事之人,就嘲笑道:“你难道想抱打不平,你送上50两银子,这姑娘就归你了!”朱世杰见此情景,大怒道:“难道我掏不出50两银子。光天化日之下,竟胡作非为,难道没有王法不成?”那半老徐娘讽刺道:“你这穷鬼,还谈什么王法,银子就是王法,你若能掏出50两银子,我便不打了。”朱世杰愤怒已极,从口袋里抓出50两银子,摔在半老徐娘面前,拉起姑娘就回到自己的教书之地。原来,那半老徐娘是妓女院的鸨母,而这姑娘的父亲因借鸨母的10两银子,由于天灾,还不起银子,只好卖女儿抵债。今天碰巧遇上朱世杰,才把姑娘救出苦海。后来,在朱世杰的精心教导下,这姑娘也颇懂些数学知识,成了朱世杰的得力助手,不几年,两人便结成夫妻。所以,扬州民间至今还流传着这样一句话:“元朝朱汉卿,教书又育人;救人出苦海,婚姻大事成。”

在元灭南宋以前,南北之间的交往,特别是学术上的交往几乎是断绝的。南方的数学家对北方的天元术毫无所知,而北方的数学家也很少受到南方的影响。元统一中国后,朱世杰曾以数学家的身份周游各地20余年,向他求学的人很多,他到广陵(今扬州)时“踵门而学者云集”。他全面继承了前人数学成果,既吸收了北方的天元术,又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀,在此基础上进行了创造性的研究,写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》,又写成四元术的代表作——《四元玉鉴》,把我国古代数学推向更高的境界,形成宋元时期中国数学的最高峰。《算学启蒙》全书共三卷,20门,总计259个问题和相应的解答。这部书从乘除运算起,一直讲到当时数学发展的最高成就“天元术”,全面介绍了当时数学所包含的各方面内容。书中明确提出正负数乘法法则,给出倒数的概念和基本性质,概括出若干新的乘法公式和根式运算法则,总结了若干乘除口诀,并把设辅助未知数的方法用于解线性方程组。《四元玉鉴》的主要内容是四元术,即多元高次方程组的建立和求解方法。秦九韶的高次方程数值解法和李冶的天元术都被包含在内。

在宋元时期的数学群英中,朱世杰的工作具有特殊重要的意义。如果把诸多数学家比作群山,则朱世杰是最高大、最雄伟的山峰。站在朱世杰数学思想的高度俯瞰传统数学,会有“一览众山小”之感。朱世杰工作的意义就在于总结了宋元数学,使之在理论上达到新的高度。这主要表现在以下三个领域。首先是方程理论。在列方程方面,蒋周的演段法为天元术作了准备工作,他已具有寻找等值多项式的思想,洞渊与信道是天元术的先驱,但他们推导方程仍受几何思维的束缚,李冶基本上摆脱了这种束缚,总结出一套固定的天元术程序,使天元术进入成熟阶段。在解方程方面,贾宪给出增乘开方法,刘益则用正负开方术求出四次方程正根,秦九韶在此基础上解决了高次方程的数值解法问题。至此,一元高次方程的建立和求解都已实现。而线性方程组古已有之,所以具备了多元高次方程组产生的条件。李德载的二元术和刘大鉴的三元术相继出现,朱世杰的四元术正是对二元术、三元术的总结与提高。由于四元已把常数项的上下左右占满,方程理论发展到这里,显然就告一段落了。从方程种类看,天元术产生之前的方程都是整式方程。

从洞渊到李冶,分式方程逐渐得到发展。而朱世杰则突破了有理式的限制,开始处理无理方程。其次是高阶等差级数的研究。沈括的隙积术开研究高阶等差级数之先河,杨辉给出包括隙积术在内的一系列二阶等差级数求和公式。朱世杰则在此基础上依次研究了二阶、三阶、四阶乃至五阶等差级数的求和问题,从而发现其规律,掌握了三角垛统一公式。他还发现了垛积术与内插法的内在联系,利用垛积公式给出规范的四次内插公式。

还有关于几何学的研究。宋代以前,几何研究离不开勾股和面积、体积。蒋周的《益古集》也是以面积问题为研究对象的。李冶开始注意到圆城因式中各元素的关系,得到一些定理,但未能推广到更一般的情形。朱世杰不仅总结了前人的勾股及求积理论,而且在李冶思想的基础上更进一步,深入研究了勾股形内及圆内各几何元素的数量关系,发现了两个重要定理——射影定理和弦幂定理。他在立体几何中也开始注意到图形内各元素的关系。朱世杰的工作,使得几何研究的对象由图形整体深入到图形内部,体现了数学思想的进步。

《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著,是宋元数学集大成者,也是我国古代水平最高的一部数学著作。现代数学史研究者对《四元玉鉴》给予了高度评价。著名科学史专家乔治·萨顿说:“《四元玉鉴》是中国数学著作中最重要的一部,同时也是中世纪最杰出的数学著作之一。”编著《中国科学技术史》的李约瑟这样评价朱世杰和《四元玉鉴》:“他以前的数学家都未能达到这部精深的著作中所包含的奥妙的道理。”

遗憾的是,朱世杰之后,元代再无高深的数学著作出现,汉唐宋元的数学著作很少有新的刻本,很多甚至失传了。乾隆三十七年(公元1772年)开《四库全书》馆时,挖掘了不少古代数学典籍,朱世杰的著作却未被发现,因此,起初没有编入;公元1799年阮元、李锐等人编纂数学家传记《畴人传》时,也未介绍《四元玉鉴》。之后不久,阮元在浙江访得此书,旋即将其编入《四库全书》,并把抄本交给李锐校算(未校完),后由何元锡按此抄本刻印,这是《四元玉鉴》公元1303年初版以来的第一个重刻本。公元1839年扬州学者罗士琳经多年研究之后,出版了他所编著的《四元玉鉴细草》,罗氏对《四元玉鉴》书中每一问题都作了细草。就在罗士琳翻刻《四元玉鉴》时,《算学启蒙》也还无着落。后来罗士琳“闻朝鲜以是书为算科取士”,于是请人在北京找到了顺治十七年(公元1660年)朝鲜全州府尹金始振所刻的翻刻本,这样,《算学启蒙》又在扬州重新刊印出版,这就是该书现存各种版本的母本。

元代朱世杰这两部杰出的数学著作都是在扬州完成、刻印的,失传了几百年后,它们又被扬州学者发现、校算、注释,并在扬州重新刻印出版,仅此可见,扬州在我国数学发展史上有着十分重要的地位。