原来他是计算出来的，因为酒坛叠得很有规律：每一层都排成长方形，而且下一层比上一层长、宽各增加一个，这堆酒坛有4层，他数得最上面一层长为5个，宽为3个，以下每层依次为6×4个，7×5个，8×6个，合计5×3+6×4+7×5+8×6=122(个)。
沈括认为通常求体积的各种公式，作为计算对象的形体都是实心的，但他的问题却是形体中间有空隙，因此就把这个方法称为隙积术了，不过，当时沈括把最上面一层的长和宽的个数分别记作a和b，最底下一层的长和宽的个数分别记作c和d，共n层，因此他得到的公式是S=n6［(2b+d)a+(b+2d)c］+n6+(c-a)我国古代一次方程组的研究
大家知道，我国古代在数学方面有许多杰出的成就，仅以代数中的一次方程组来说，早在二千多年以前，我国最古老的数学经典着作《九章算术》中，就对它有过记载。在公元263年，三国时魏国刘徽编辑的《九章算术》中的第八章就是方程章，共有18个问题，全都是一次方程组的问题，其中二元的问题有8个，三元的问题有6个，四元的问题有2个，五元的问题有1个，属于不定方程(六个未知数五个方程)的1个。《九章算术》中所用的作法称为“方程术”。例如“方程章”中第7个问题：“今有牛五羊二值金十两，牛二羊三值八两，问牛羊各值几何。”
设牛羊各值金x、y两，这个问题相当于求下面方程组的解：
5x+2y=10，2x+5y=8，解得x=3421，y=2021。
在数学史中，大多数人认为是法国数学家别朱(1730～1783)在公元18世纪最早提出一次方程组的解法，而我国最在2000多年前的《九章算术》中就己经掌握了系统的一次方程组的解法，比欧洲至少要早1500年。由此可以看出，我国古代关于一次方程组的解法研究遥遥领先，它是我国古代数学最杰出的创造之一。
维纳的故事
维纳(1894-1964年)是最早为美洲数学赢得国际荣誉的大数学家，关于他的轶事多极了。维纳早期在英国，有一次遇见英国着名数学家李特尔伍德(Littlewood)时说：“噢，还真有你这么个人。我原以为Littlewood只是哈代(Hardy)为写得比较差的文章署的笔名呢。”维纳本人对这个笑话很懊恼，在自传中极力否认此事。此故事的另一种版本说的是朗道(EdmundLaudau)：朗道是怀疑李特尔伍德的存在性，为此专程去英国亲自看了这个人。
维纳后来赴美国麻省理工学院任职，长达25年。他是校园中大名鼎鼎的人物，人人都想与他套点近乎。有一次一个学生问维纳怎样求解一个具体问题，维纳思考片刻就写出了答案。实际上这位学生并不想知道答案，只是问他“方法”。维纳说：“可是，就没有别的方法了吗？”思考片刻，他微笑着随即写出了另一种解法。维纳最有名的故事是有关搬家的事。一次维纳乔迁，妻子熟悉维纳的方方面面，搬家前一天晚上再三提醒他。她还找了一张便条，上面写着新居的地址，并用新居的房门钥匙换下旧房的钥匙。第二天维纳带着纸条和钥匙上班去了。白天恰有一人问他一个数学问题，维纳把答案写在那张纸条的背面递给人家。晚上维纳习惯性地回到旧居。他很吃惊，家里没人。从窗子望进去，家具也不见了。掏出钥匙开门，发现根本对不上齿。于是使劲拍了几下门，随后在院子里踱步。突然发现街上跑来一小女孩。维纳对她讲：“小姑娘，我真不走运。我找不到家了，我的钥匙插不进去。”小女孩说道：“爸爸，没错，妈妈让我来找你。”
有一次维纳的一个学生看见维纳正在邮局寄东西，很想自我介绍一番。在麻省理工学院真正能与维纳直接说上几句话、握握手，还是十分难得的。但这位学生不知道怎样接近他为好。
这时，只见维纳来来回回踱着步，陷于沉思之中。这位学生更担心了，生怕打断了先生的思维，而损失了某个深刻的数学思想。但最终还是鼓足勇气，靠近这个伟人：“早上好，维纳教授！”维纳猛地一抬头，拍了一下前额，说道：“对，维纳！”原来维纳正欲往邮签上写寄件人姓名，但忘记了自己的名字……。
原始的计算工具
计算是人类的一种思维活动。人类初期的计算主要是计数。最早用来帮助计数的工具是人类的四肢(手、脚、手指、脚趾)或身边的小石头、贝壳、绳子等。中国有句古话叫“屈指可数”，说明人们常用手指来计算简单的数。
在美国纽约的博物馆里，珍藏着一件从秘鲁出土的古代文物，名叫“基普”，意即打了绳结的绳子。基普是古人用来计数和记事的。传说公元前6世纪，波斯国王在一次征战中曾命令一支部队守桥，他把一条打了结的皮带交给留守将士，要他们每守一天解天一个结，一直守到皮带上的结全部解完才准撤退。
在没有文字的我国古代，人们用在绳子上打结的方法来计数和记事。一件事打一个结，大事打个大结，小事打个小结，办完了一件事就解掉一个结。
古人不仅用绳结记数，而且还使用小石子等其他工具来计数。例如，他们的羊，早晨放牧到草地里，晚上必须圈到栅栏里。这样，早晨从栅栏里放出来的时候，出来一头就往罐子里扔一块小石子；傍晚羊进栅栏时，进去一头就从罐子里拿出一块小石子。如果石子全部拿光了，就说明羊全部进圈了；如果罐子里还剩下石子，说明有羊丢失了，必须立刻去寻找。
算盘和珠算
算盘是中国人民在长期运用算筹计算的基础上，大约在14世纪左右发明的。从那以后，算盘就取代了算筹而广为流传，延续至今，一直是我国一种最普遍的计算工具之一。用算盘来计算的方法叫珠算。
除了中国，还有些地区也出现过算盘，但都没有流传下来。古代埃及人进行贸易时，他们在地上铺上一层沙子，用手在沙子上划出一些沟，再把小石子放在沟里，作加、减法就是增减沟里的石子。这是最原始的算盘。后来，欧洲的商人用刻有槽子的计算板代替沙子，用专门制作的算珠取代了石子。经过多次改进，这种计算板类似于我国使用的算盘。但由于欧洲人的计算板是用钢制成的，笨重而且昂贵，再加上西方人没有运算口诀，使用起来不方便，因而逐渐被淘汰了。还有的地区的算盘是用每根木条穿着十颗木珠制成的，但由于人们把每颗珠子看作1，不像中国算盘下珠以一当一、上珠以一当五，因此计算起来速度大受限制，使用也不广泛。
中国算盘以其制作简单、价格低廉、运算方便，配以易学易记的珠算口诀等优点，长盛不衰。15世纪中期在《鲁班木经》中已有制造算盘的详细介绍。关于珠算术，明代吴敬《九章算法比类大全》记载最早。1573年我国徐心鲁写了第一本系统介绍珠算算法的书，1592年程大位又写了《直指算法统宗》等，这都加速了算盘的推广，使珠算流传到了很多国家。国际上曾多次进行过计算速度的比赛，在和手摇计算机及电子计算机的对抗赛中，每次加、减法的速度冠军都是算盘。因此在有了电子计算机的今天，人们仍广泛地使用算盘。如日本使用算盘的企业仍占相当比例，英、美、法等工业国仍把珠算列入小学课程。使用算盘和珠算除了其计算功能外，还有锻炼思维能力的作用。
1980年，我国又推出一种新颖的电子算盘，它把普通算盘长于加减、电子计算器长于其他的优点融为一体，使古老的算盘焕发了青春。
简易计算工具纳皮尔筹
纳皮尔筹是一种能简化计算的工具，又叫“纳皮尔计算尺”，是由对数的发明人纳皮尔发明的。它由10根木条组成，每根木条上都刻有数码，右边第一根木条是固定的，其余的都可根据计算的需要进行拼合或调换位置纳皮尔筹可以用加法和一位数乘法代替多位数的乘法，也可以用除数为一位数的除法和减法代替多位数除法，从而简化了计算。
纳皮尔筹的计算原理是“格子乘法”。例如，要计算934×314，先画出长宽各3格的方格，并画上斜线；在方格上方标上9，3，4，右方标上3，1，4；把上方的各个数字与右边各个数字分别相乘，乘得的结果填入格子里；最后，从右下角开始依次把三角形格中各数字按斜线相加，必要时进位，便得到积293276。
纳皮尔筹只不过是把格子乘法里填格子的任务事先做好而已。需要哪几个数字时，就将刻有这些数字的木条按格子乘法的形式拼合在一起。
纳皮尔筹也传到过中国，北京故宫博物院里至今还有珍藏品。
伽利略发明的比例规
比例规又叫扇形圆规，是伽利略在1597年左右发明的。这个仪器是由一个框和一头边接在框上并能开合的两脚尺共同构成，每把尺上都有刻度(从框轴开始，以框轴为零点)。
比例规的原理很简单，仅利用相似三角形的性质(即相似三角形的对应线段成比例)，可以解决许多问题。例如：
(1)分已知线段为五个相等的部分；(2)变更绘图的比例；(3)在绘图中，从图里的已知量a，b，c求第四比例量(即求x，使得a：b=c：x)；(4)如果以数的平方在一个脚尺上作刻度，便可以求数的平方与平方根；(5)如以数的立方在一个脚尺上作刻度，便可以求数的立方与立方根；(6)利用特制的比例规，还可以根据算好的刻度测出单位圆的特定度数的弧所对应的弦长；反之，根据弦长求角度，即作为量角器用。
比例规既是几何作图的工具，又可以用于实际测量和绘图。它在17世纪的欧洲很流行，并被人们通用了200多年。问世不久，就传入了中国。1630年罗雅谷在中国写了《比例规解》一书，介绍比例规的用法。此后中国数学家的书中就常有关于比例规的论述。我国故宫博物院内还藏有各种质料和不同类型的比例规几十具。
机械计算机和分析机
算盘、比例规、对数计算尺等等，不能自动连续地进行运算，也不能储存运算结果，运算速度也不够快，因而人们就想制造一种能代替人工并进行快速计算的机器。
1642年，法国数学家帕斯卡发明了世界上第一台机械计算机。这台计算机是像钟表那样利用齿轮传动来实现进位，计算时要用小钥匙逐个拨动各个数位上的齿轮，计算结果则在带数字小轮的另一个读数孔中显示出来，计算结束后还要逐个恢复0位。这台计算机只能做加减法，操作也非常复杂，但在当进是一个了不起的发明，成了计算工具变革的起点。以它为基础，此后人们发明了手摇计算机。
手摇机械计算机及后来的电动计算机，由于四项运算都需要计算人员的亲自操作使得计算速度受到限制。为了这一缺点，英国的数学家和管理学家查尔斯·巴贝奇，花费了几十年的时间，于1833年构思了一种分析机。这种分析机用刻有数字的轮子来存储数据，通过齿轮的旋转进行计算，用一组齿轮和杠杆构成的装置传送数据，用穿孔卡片输入程序和数据，用穿孔卡片和打印机输出计算结果。由于受当时技术条件的局限，巴贝奇耗费了大量资金也没有获得成功，只是搞了一个机器模型。但是，他的设想为现代电子计算机的诞生奠定了基础。因而这个机器模型至今还被英国康辛顿博物馆收藏着。1890年，霍勒力斯依据巴贝奇的设计，制造了一台机器，在美国人口普查工作中大放光彩。
最早的计算机原型——图灵机
现代计算机的原型，当推1936年英国数学家图灵设计的理想计算机(即图灵机)为最早。图灵主要是把人们在进行计算时的动作分解为比较简单的动作。设想一个人在一张纸上做计算，他需要：(1)一种储存计算结果的存储器，即纸张；(2)一种语言，表示加减乘除等操作和数字的符号；(3)扫描区，在计算过程中，看到的上下左右几个方格中的数字；(4)计算意向，即在计算的每一阶段打算下一步做什么，例如看到6+9就要准备进位等；(5)执行下一步计算。
至于每一步计算，无非是：(1)改变数字或符号；(2)扫描区的改变，往左进位或往右添位等；(3)计算的意向改变等。图灵把问题设想得更简单一些，把26×32的竖式演算穿在纸带上：26×32=52+780=832。如果每个数字都用二进位数表示，加减乘除、等号也用二进数码表示，那么一个计算就得到一条纸带上的由0和1组成的数串。
图灵成功地把人的计算活动机械化了。从理论上说，解方程，搞近似计算，无非是按照某种算法，告诉机器在遇到注视格中出现什么情况时，按什么计算意向去执行下一步动作。因此，凡是人或者其他机器能执行的算法，图灵设计的机器都可以做到。
电子计算机
1946年在美国的宾夕法尼亚大学，诞生了世界上第一台电子计算机ENIAC。它是一个占地170平方米、重30吨的庞然大物，由18000个电子管组成，每小时耗电量为140千瓦，每秒钟可进行5000次加法运算。它的最重要的特点是，能按照大编写的程序自动地进行计算。
从1946年至今，经过40多年的发展，电子计算机的运算速度越来越快，复杂程度越来越高，体积越来越小，更新周期越来越短。我国的“银河”巨型计算机的运算速度已达到每秒1亿次，国外的先进计算机的运算速度还要快。就机器本身来说，电子计算机已“进化”到第四代了。
第一代以电子管为主要元件。利用这一代计算机，人们把人造卫星送上了天。
第二代以晶体管构成基本电路。开始有了算法语言和编译系统。运算速度达每秒几百万次，体积、重量、耗电量、造价都大大减少。
第三代是中小规模集成电路计算机。这时已有操作系统，小型机广泛应用，有了终端与网络，运算速度达每秒几千万次。
第四代是大规模集成电路组成的机器。体积与成本大幅度减少。这时制成了微型计算机，在工业、科学研究和家庭生活中广泛应用。
第五代电子计算机实际是智能计算机，具有模仿人脑思维过程的能力。从1979年起，日本等国组织了各方面的专家，开始了对这种计算机的研制，现已取得初步进展。
作为一种计算工具，电子计算机和一般计算工具相比，有以下几个特点：(1)运算速度快。
运算速度高的电子计算机每秒能进行十几亿次运算。速度较慢的微型电子计算机，每秒钟也能进行10万次运算。(2)计算精度高。现代电子计算机计算的值可达到64位数。(3)具有“记忆”和逻辑判断能力。电子计算机可以记录程序、原始数据和中间结果，还能进行逻辑推理和定理证明。(4)能自动地进行控制，不必人工干预。
电子计算机的应用已迅速渗透到人类社会的各个方面。从宇宙飞船、导弹的控制、原子能的研究及人造卫星等尖端科技领域，到工业生产、企业管理、日常生活等都不同程度地应用了计算机。有人断言，现代社会的每一项活动中都有电子计算机的踪迹。
数的家族成员