第7章

1，2，3……12，45，7916……-3，-8-11……2，π，e……这各种各样的数，都有自己的“身份”，它们共同组成数的家族。

第一组成员是自然数。小时扳手指头数地的1，2，3……就是自然数。这也是我闪祖先最早认识的数，自然数称为正整数。

第二组成员是分数。5个人分3个苹果，古人最初是这样做的：把一个苹果分成相同的五份，每人取一份，即15，对另两个苹果做同样的分配，最后每人得到3个15，这就是我们所说的35。分数的记载最先出现在距今四千多年的古埃及纸草书中。

零的出现是比较晚的，从“无”到“零”的认识是一个漫长的过程。据说公元前二百年，希腊人已有零号的记载，但真正把零当作一个独立的数来使用是公元9世纪由印度人做出的。

负数在中国的西汉时期(约公元前2世纪)已经萌牙，并最先作为数学的研究对象出现在公元1世纪的《九章算术》中。

正整数(自然数)、零和负整数就构成全体整数。正分数和负分数构成全体分数。

整数和分数构成了有理数。当然，广义的分数中已经包括了整数，因为可以把整数看成分母是1的分数。

每个有理数都可以表示成两个整数的比。但是，公元前5世纪希腊数学家发现2不可能表示成两个整数之比，因而引起了一场极大的风波。后来把不能表示成两个整数之比的数称为无理数。现在我们知道无理数比有理数要多得多。

有理数和无理数统称为实数。在实数范围内，方程x2+1=0是无解的。于是，科学家引入了+bi的数就称为复数，而i=称为虚数单位。

除此之外，还有新的数。如果学习高等数学，会遇到四元数、各种超复数，以及类似的数学对象。随着数学的发展，数的家族将不断增加新的成员。

0的意思

0，通常表示什么也没有。但实际上零表示的意义非常丰富。

0不但可以表示没有，也可以表示有。电台、电视里报告气温是0℃，并不是指没有温度，而是相当于华氏表32度，这也是冰点的温度。0还可以表示起点，如发射导弹时的口令是：“9，8，7，6，5，4，3，2，1，0——发射”。0在数轴上作为原点，也是起点的意思。0还可以表示精确度。如在近似计算中，75与750表示精确程度不同。

在实数中，0又是正数与负数间的惟一中性数，具备下面一些运算性质：

a+0=0+a=aa-0=a0-a=-a0×a=a×0=0，y0÷a=0，(a0)0不能作除数，0也没有倒数；0的绝对值和相反数都是0；任意多个0相加和相乘都等于0。

在指数和阶乘运算中，还有：a°=1(其中a0)。

0在复数中，是惟一辐角没有定义的复数。0还没有对数。现代电子计算机用的二进制中，0还是一个基本数码。

在0发明之前，我们祖先记数的方法是繁琐而不完善的，要记一个大数就要将某些符号重写多次。在采用了印度一阿拉伯数码，而没有用0这个符号时，前人将一百万、三万、四百、五这几个数之和表示为：1345，这种表示就会产生误解，或是一百零三万四百零五，或是一千三百四十五。于是用打格的办法来区分：

1345空的地方表示空位。但这又使运算变得很麻烦。采用0后，就可以简洁地写成：1030405。因此，没有采用0之前，可以说记数法是不完整的。

0是数学中最有用的符号之一，但它的发明是来之不易的。古埃及虽建造了宏伟的金字塔，但不会使用0；巴比伦人发明了楔形文字，也不会使用0；中国古代用筹运算时，怕定位发生错误，开始用代表空位，为书写方便逐渐写成。公元2世纪希腊人在天文学上用表示空位，但不普遍。比较公认的是印度人在公元6世纪最早用黑点(·)表示零，后来逐渐变成了0。

小数的经历

有了小数之后，记数就更方便了。如圆周率近似值31416，若用分数表示，就得写成39271250，很麻烦，何况还有更多位的小数和更复杂的运算。有位着名的美国数学史家说：“近代计算的奇迹这般的动力来自三项发明，印度记数法、十进分数和对数。”这里所说的十进分数就是指小数。

在西方，一般认为小数是比利时数学家斯蒂文发明的。但最早使用现代意义的小数点的是德国数学家克拉维斯，他在1593年使用了小数点。但是直到19世纪末，小数的记号仍很混乱。就是在现代，小数点也分为欧洲大陆派和英美派两种记法，前者采用逗号后者则坚持用圆点“”。

实际上，早在斯蒂文发明小数点之前很久，中国、印度和中亚就已经使用十进分数了，也即小数。

公元3世纪，我国魏晋时期刘徽的《九章算术注》中，有三处运用了十进分数的思想。到了南北朝时期，在历法中大量使用了下列记法：

十一万八千二百九十六二十五(1189625)九十八三(983)百一十九11912这种写法和西方直到19世纪仍在流行的小数记法25或25，几乎是完全相同的。

到了宋元时期，更有下列记法：

(324506，1247年)(025，1247年)(-05，1248年)这些记法都远远胜过三百多年后斯蒂文的记法。

中亚的阿尔卡西是世界上除中国人之外第一个应用十进分数的。他的用法体现在他1427年的《算术之钥》一书中。

不论在东方还是西方，对小数的认识都经过了几百年甚至上千年的演变。

虚数

“虚数”这个名词，听起来好像“虚”，实际上却非常“实”。

虚数是在解方程时产生的。求解方程时，常常需要将数开平方。如果被开方数不是负数，可以算出要求的根；如果是负数怎么办呢？

譬如，方程x2+1=0，则x2=-1，x=±-1。那么-1有没有意义呢？在很久之前，大多数数学家认为负数没有平方根。到了16世纪中叶，意大利数学家卡尔丹发表了《大法》这一数学着作，介绍了三次方程的求根公式。他不仅讨论了正根和负根，还讨论了虚数根。如解x3-15x+4=0这一方程时，依据他的求根公式，会得到：

x=-2+-121其中-121就是负数的平方根。卡尔丹写出了负数的平方根，但他认为这也仅仅是形式表式表示而已。说明他对负数平方根的性质并不了解。1637年，法国数学家笛卡尔开始用“实数”、“虚数”两个名词。1777年，瑞士数学家欧拉开始用符号i=-1表示虚数的单位。而后人将实和虚数结合起来，写成a+bi形式(a、b为实数)，称为复数。

由于虚数闯进数学领域时，人们对它的实际用处一无所知，在实际生活中似乎也没有用复数来表达的量，因此，在很长一段时间里，人们对虚数产生了种种怀疑和误解。笛卡尔称“虚数”的本意是指它是虚假的；莱布尼兹在公元18世纪初则认为：“虚数是美妙而奇异的神秘隐蔽所，它几乎是既存在又不存在的两栖物”。欧拉尽管在许多地方用了虚数，但又说一切形如-1、-2的数学式都是不可能有的，纯属虚幻的。

欧拉之后，挪威一个测量学家维塞尔，提出把复数a+bi用平面上的点(a，b)来表示。后来，高斯提出了复平面的概念，终于使复数有了立足之地，也为复数的应用开辟了道路。现在，复数一般用来表示向量(有方向的数量)，这在水力学、地图学、航空学中的应用是十分广泛的。虚数越来越显示出其丰富的内容，真是：虚数不虚！

无限大与无限小

人们一般碰到的数，无论是实数还是复数，都有确定的量值，换句话说是有限的。这反映了我们通常碰到的事物是有限的，总可以用这些数计量。

人类的长期的认识过程中，又逐渐产生两个新的概念。最早的时候，人们将整个宇宙理解为地球，航海学的测量又测得地球半径为6370公里，对人们来说，那是一个非常大的数。16世纪，哥白尼的“日心说”又将宇宙扩大到以太阳为中心的太阳系，太阳系的半径为60亿公里，约是地球半径的94万倍，地球与之相比只是沧海一粟了。18世纪，人们的视野扩展到银河系，银河系的直径相当于93312×1017公里，这个数字更是大得惊人。随着科学技术的发展，人们借助射电望远镜，又将宇宙范围扩展到星系团、超星系团，以至总星系。这些星系的半径都在数百万光年(光年即光走一年的路程，约93312×1017公里)以上，这个数字简直是无法把握的。总星系之上当然还有更大的宇宙，永远不会穷尽。这样就出现了无限大的概念，数学上记为∞。它的含义是比任何数都大的数，这个数当然是虚拟的，不是一个确定的数。

在微观世界，人类的认识也从分子认识到原子，从原子认识到原子核。原子核的直径约10-13厘米，原子核还可以分解为质子、中子，它们的直径更小。这一分解过程也可以无穷尽地进行下去。这样就带来了无限小的概念。

无限大、无限小的含义已经涉及数的变化趋势了，这是从确定量到变量的过渡中产生的数，是微积分的基础。

将循环小数化成分数

将循环小数化成分数，是解决有关循环小数的基本方法。怎样才能将循环小数化成分数呢？

这要请我们的老朋友——9来帮助解决问题。我们知道，在数列计算中，有一个无穷等比数列的求和公式s＝a1-q。其中a是这个数列的第一项，q是公比。下面要用这个公式来研究化循环小数为分数的方法。先观察下面两个循环小数：0666……＝06，0242424……＝024。它们都是从小数点后的第一位开始循环的，叫做纯循环小数。为了便于计算，先将它们写成分数的和的形式：

0666……＝06+006+0006+……＝610+6100+61000+610000+……0242424……＝024+00024+0000024+……＝24100+241000+241000000+……这就变成了无穷递缩等比数列的形式。06666……的公比是110，而0242424……的公比是1100。根据求和公式得：

066……＝6101-110＝６10-1＝69，02424……＝241001-1100＝24100-1＝2499。

由此可以看出，要把纯循环小数化为分数，只要把一个循环节的数化为分子，让分母由9组成，循环节有几位数字，分母是几个9就行了。例如：

04444……＝04＝4905656……＝056＝5699，031233123……＝03123＝31239999＝3471111。

下面再来看看以下两个循环小数：

02888……＝028，03545454……＝0354它们都不是从小数点的第一位开始循环的，这叫混循环小数。用分数的和可表示为：

02888……＝210+8100+81000+810000+……035454……＝310+541000+54100000+……这种和的形式，从第二项起，构成了一个分别以110，1100为公比的无穷递缩等比数列。由求和公式得：

02888……＝210+81001-110＝210+8100-10＝210+890＝2×9+890＝2690＝1345。

035454……＝310+5410001-1100＝310+541000-10＝310+54990＝3×99+54900＝351990＝39110。

由此可以看出：把混循环小数化为分数，先去掉小数点，再用第二个循环节以前的数字减去不循环部分的数字，将得到的差作为分子；分母由9和0组成，9的个数等于一个循环节的位数，9的后面写0，0的个数等于不循环部分的位数。例如：

02777……＝027＝27-290＝2590＝518。

031252525……＝03125＝3125-319900＝15474950。

数学的变化虽是无穷的，在研究了大量的现象或大量的例题后，应学会从特殊的问题中，总结出一般规律的思考方法。这种由特殊情况归纳出一般情况的方法称为经验归纳法。

逻辑体系的奇迹

公元前3世纪时，最着名的数学中心是亚历山大城；在亚历山大城，最着名的数学家是欧几里得。

欧几里得知识渊博，数学造诣精湛，尤其擅长于几何证明。连当时的国王也经常向他请教数学问题。有一次，国王做一道几何证明题，接连做了许多天都没有做出来，就问欧几里得，能不能把几何证明搞得稍微简单一些。欧几里得认为国王想投机取巧，于是不客气地回答说：“陛下，几何学里可没有专门为您开辟的大道！”这句话长久地流传下来，许多人把它当做学习几何的箴言。

在数学上，欧几里得最大的贡献是编了一本书。当然，仅凭这一本书，就足以使他获得不配的声誉。

这本书，也就是震烁古今的数学巨着《几何原本》。

为了编好这本书，欧几里得创造了一种巧妙的陈述方式。一开头，他介绍了所有的定义，让大家一翻开书，就知道书中的每个概念是什么意思。例如，什么叫做点？书中说：“点是没有部分的。”什么叫做线？书中说：“线有长度但没有宽度。”这样一来，大家就不会对书中的概述产生歧义了。

接下来，欧几里得提出了5个公理和5个公设：

公理1与同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。

公理2等量加等量，总量仍相等。

公理3等量减等量，总量仍相等。

公理4彼此重合的东西彼此是相等的。

公理5整体大于部分。

公设1从任意的一个点到另外一个点作一条直线是可能是。

公设2把有限的直线不断循直线延长是可能的。

公设3以任一点为圆心和任一距离为半径作一圆是可能的。

公设4所有的直角都相等。

公设5如果一直线与两直线相交，且同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。

在现在看来，公理与公设实际上是一回事，它们都是最基本的数学结论。公理的正确性是无庸置疑的，因为它们都经过了长期实际践的反复检验。而且，除了第5公设以外，其他公理的正确性几乎是“一目了然”的。想想看，你能找出一个例子，说明这些公理不正确吗？

这些公理是干什么用的？欧几里得把它们作为数学推理的基础。他想，既然谁也无法否认公理的正确性，那么，用它们作理论依据去证明数学定理，只要证明的过程不出差错，定理的正确性也是理论证据，却能推导出新的数学定理来。这样，就可以用一根逻辑的链条，把所有的定理都串联起来，让每一个环节都衔接得丝丝入扣，无懈可击。

在《几何原本》里，欧几里得用这种方式，有条不紊地证明了467个重要的数学定理。

从此，古希腊丰富的几何学知识，形成了一个逻辑严谨的科学体系。

这是一个奇迹！2000多年后，大科学家爱因斯坦仍然怀着深深的敬意称赞说：这是“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹”。

尺规作图拾趣

希腊是奥林匹克运动的发源地。奥运会上的每一个竞赛项目，对运动器械都有明确的规定，不然的话，就不易显示出谁“更快、更高、更强”。一些古希腊人认为，几何作图也应像体育竞赛一样，对作图工作作一番明确的规定，不然的话，就不易显示出谁的逻辑思维能力更强。