应该怎样限制几何作图工具呢？他们认为，几何图形都是由直线和圆组成的，有了直尺和圆规，就能作出这两样图形，不需要再添加其他的工具。于是规定在几何作图时，只准许使用圆规和没有刻度的直尺，并且规定只准许使用有限次。
由于有了这样一个规定，一些普普通通的几何作图题，顷刻间身价百倍，万众瞩目，有不少题目甚至让西方数学家苦苦思索了2000多年。
尺规作图特有的魅力，使无数的人沉湎其中，乐而忘返。连拿破仑这样一位威震欧洲的风云人物，在转战南北的余暇，也常常沉醉于尺规作图的乐趣中。有一次，他还编了一道尺规作图题，向全法国数学家挑战呢。
拿破仑出的题目是：“只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分。”
由于圆心O是已知的，求出这个题目的答案并不难。
我们可以在圆周上任意选一点A，用圆规量出OA的长度，然后以A点为圆心画弧，得到B点；再以B点为圆心画弧，得到C点；再以C点为圆心画弧，得到D点。这时，用圆规量出AC的长度，再分别以A点和D点为圆心画两条弧，得到交点M。接下来，只要用圆规量出OM的长度，逐一在圆周上划分，就可以把圆周4等分了。
如果再增添一把直尺，将这些4等分点连接起来，就可以得到一个正4边形。由此不难看出，等分圆周与作正多边形实际上是一回事。
只使用直尺和圆规，怎样作出一个正5边形和正6边形呢？
这两个题目都很容易解答，有兴趣的读者不妨试一试。
不过，只使用直尺和圆规，要作出正7边形可就不那么容易了。别看由6到7，仅仅只增加了一条边，却一跃成为古代几何的四大名题之一。尺规作图题就是这样变化莫测。
这个看上去非常简单的题目，曾经使许多着名数学家都束手无策。后来，大数学家阿基米德发现了前人之所以全都失败了的原因：正7边形是不能由尺规作出的。阿基米德从理论上严格证明了这一结论。
那么，采用尺规作图法，究竟有哪些正多边形作得出来，有哪些作不出来呢？
有人猜测：如果正多边形的边数是大于5的质数，这种正多边形就一定作不出来。
17是一个比5大的质数，按上面这种说法，正17边形是一定作不出来的。在过去的2000年里，确实有许多数学家试图作出正17边形，但无一不遭受失败。岂料在1796年，18岁的大学生高斯居然用尺规作出了一个正17边形，顿时震动了整个欧洲数学界。
这件事也深深震动了高斯，使他充分意识到自己的数学能力，从此决心献身于数学研究，后来终于成为一代数学大师。
高斯还发明了一个判别法则，指出什么样的正多边形能由尺规作出，什么样的正多边形则不能，圆满地解决了正多边形的可能性问题。高斯的判别法则表明，能够由尺规作出的正多边形是很少的，例如，在边数是100以内的正多边形中，能够由尺规作出的只有24种。
有趣的是，正7边形的边数虽少，却不能由尺规作出；而正257边形，边数多得叫人实际上很难画出这样的图形，却一定可由尺规作出。1832边形，边数多得叫人实际上很难画出这样的图形，却一定可由尺规作出。1832年，数学家黎克洛根据高斯指出的原则，解决了正257边形的作图问题。他的作图步骤极其繁琐，写满了80页纸，创造了一项“世界纪录”。
不久，德国人赫尔梅斯又刷新了这个纪录。他费了10年功夫，解决了正65537有的作图问题。这是世界上最繁琐的尺规作图题。据说，赫尔梅斯手稿可以装满整整一手提箱呢！
有形状的数
毕达哥拉斯不仅知道奇数、偶数、质数、合数，还把自然数分成了亲和数、亏数、完全数等等。他分类的方法很奇特，其中，最有趣的是“形数”。
什么是形数呢？毕达哥拉斯研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生一系列的形数。
毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、3、6、10等数时，小石子都能摆成正三角形，他把这些数叫做三角形数；当小石子的数目是1、4、9、16等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫做正方形数；当小石子的数目是1、5、12、22等数时，小石子都能摆成正五边形，他把这些数叫做五边形数……这样一来，抽象的自然数就有了生动的形象，寻找它们之间的规律也就容易多了。不难看出，头四个三角形数都是一些连续自然数的和。瞧，3是第二个三角形数，它等于1＋2；6是第三个三角形数，它等于1＋2＋3；10是第四个三角形数，它等于1＋2＋3＋4。
看到这里，人们很自然地就会生发出一个猜想：第五个三角形数应该等于1＋2＋3＋4＋5，第六个三角形数应该等于1＋2＋3＋4＋5＋6，第七个三角形数应该等于……这个猜想对不对呢？
由于自然数有了“形状”，验证这个猜想费不了什么事。只要拿15个或者21个小石子出来摆一下，很快就会发现：它们都能摆成正三角形，都是三角形数，而且正好就是第五个和第六个三角形数。
就这样，毕达哥拉斯借助生动的几何直观，很快就发现了自然数的一个规律：连续自然数的和都是三角形数。如果用字母n表示最后一个加数，那么1＋2＋…＋n的和也是一个三角形数，而且正好就是第n个三角形数。
毕达哥拉斯还发现，第n个正方形数等于n2，第n个五边形数等于n（3n－1）／2，第n个六边形数等于2n（n－1）……根据这些规律，人们就可以写出很多很多的形数。
不过，毕达哥拉斯并不因此而满足。譬如三角形数，需要一个数一个数地相加，才能算出一个新的三角形数，毕达哥拉斯认为这太麻烦了，于是着手去寻找一种简捷的计算方法。经过深入探索自然数的内在规律，他又发现，1＋2＋……＋n＝12×n×（n＋1）这是一个重要的数学公式，有了它，计算连续自然数的和可就方便多了。例如，要计算一堆电线杆数目，用不着一一去数，只要知道它有多少层就行了。如果它有7层，只要用7代替公式中的n，就能算出这堆电线杆的数目。
1＋2＋3十4＋5＋6＋7＝12×7×（7＋1）＝28（根）就这样，毕达哥拉斯借助生动的几何直观，发现了许多有趣的数学定理。而且，这些定理都能以纯几何的方法来证明。
例如，在一些正方形数里，左上角第一个框内的数是1，它是1的平方；第二框内由1＋3组成，共有4个小石子，它是2的平方；第三个框内由1＋3＋5组成，共有9个小石子，它是3的平方。……由此不难看出，只要在正方形数上作些记号，就能令人信服地说明一个数学定理：“从1开始，任何个相继的奇数之和是完全平方。”即1＋3＋5＋……＋（2n－1）＝n2费尔马小定理
17世纪时，有个法国律师叫费尔马。他非常喜欢数学，常常利用业余时间研究高深的数学问题，结果取得了很大的成就，被人称为“业余数学家之王”。
费尔马研究数学时，不喜欢搞证明，喜欢提问题。他凭借丰富的想像力和深刻的洞察力，提出了一系列重要的数学猜想，深刻地影响了数学的发展。他提出了“费尔马大定理”，几百年来吸引了无数的数学家，是一个至今尚未完全解决的着名数学难题。
费尔马最喜欢的数学分支是数论。他曾深入研究过质数的性质。1640年，他发现了一个有趣的现象：
当n＝1时，22n＋1＝221＋1＝5；当n＝2时，22n＋1＝222＋1＝17；当n＝3时，22n＋1＝223＋1＝257；当n＝4时，22n＋1＝224＋1＝65537；费尔马没有继续算下去，他猜测说：只要n是自然数，由这个公式算出的数一定都是质数。
这是一个很有名的猜想。由于演算起来很麻烦，很少有人去验证它。1732年，大数学家欧拉认真研究了这个问题。他发现，费尔马只要往下演算一个自然数，就会发现由这个公式算出的数不全是质数。
n＝5时，22n＋1＝225＋1＝4294967297，4294967297可以分解成641×6700417，它不是质数。也就是说，费尔马的这个猜想不能成为一个求质数的公式。
实际上，几千年来，数学家们一直在寻找这样一个公式，一个能求出所有质数的公式。但直到现在，谁也未能找到这样一个公式。而且谁也未能找到证据，说这样的公式就一定不存在。这样的公式究竟存在不存在，也就成了一个着名的数学难题。
费尔马有心找出一个求质数的公式，结果未能成功，人们发现，倒是他无意提出的另一个猜想，对寻找质数很有用处。
费尔马猜测说：如果P是一个质数，那么，对于任何自然数n，np－n一定能够被P整除。这一回，费尔马猜对了。这个猜想被人称做费尔马小定理。例如11是质数，2是自然数，所以211－2一定能被11整除。
如果反过来问：若n能够整除2n－2，n是否一定就是质数呢？
答案是否定的。但人们发现，由这个公式算出的数绝大多数是质数。有人统计过，在1010以内，只要n能整除（2n－2），则n有999967％的可能是质数。这样，只要能剔除为数极少的冒牌质数，鉴定一个数是不是质数也就不难了。
利用费尔马小定理，这是目前最有效的鉴定质数的方法。要判断一个数的n是不是质数，首先看它能不能被（2n－2）整除，如果不能整除，它一定是合数；如果能整除，它就极有可能是质数。
有消息说，在电子计算机上运用这种新方法，要鉴定一个上百位的数是不是质数，一般只要15秒钟就够了。
破碎的数
在拉丁文里，分数一词源于frangere，是打破、断裂的意思，因此分数也曾被人叫做是“破碎数”。
在数的历史上，分数几乎与自然数同样古老，在各个民族最古老的文献里，都能找到有关数的记载，然而，分数在数学中传播并获得自己的地位，却用了几千年的时间。
在欧洲，这些“破碎数”曾经令人谈虎色变，视为畏途。7世纪时，有个数学家算出了一道8个分数相加的习题，竟被认为是干了一件了不起的大事情。在很长的一段时间里，欧洲数学家在编写算术课本时，不得不把分数的运算法则单独叙述，因为许多学生遇到分数后，就会心灰意懒，不愿意继续学习数学了。直到17世纪，欧洲的许多学校还不得不派最好的教师去讲授分数知识。以致到现在，德国人形容某个人陷入困境时，还常常引用一句古老的谚语，说他“掉进分数里去了”。
一些古希腊数学家干脆不承认分数，把分数叫做“整数的比”。
古埃及人更奇特。他们表示分数时，一般是在自然数上面加一个小圆点。在5上面加一个小圆点，表示这个数是1／5；在7上面加一个小圆点，表示这个数是1／7。那么，要表示分数2／7怎么办呢？古埃及人把1／4和1／28摆在一起，说这就是2／7。
1／4和1／28怎么能够表示2／7呢？原来，古埃及人只使用单分子分数。也就是说，他们只使用分子为1的那些分数，遇到其他的分数，都得拆成单分子分数的和。1／4和1／28都是单分子分数，它们的和正好是2／7，于是就用14+128来表示2／7。那时还没有加号，相加的意思要由上下文显示出来，看上去就像把1／4和1／28摆在一起表示了分数2／7。
由于有了这种奇特的规定，古埃及的分数运算显得特别繁琐。
例如，要计算5／7与5／21的和，首先得把这两个分数都拆成单分子分数：
57+521＝(12+17+114)+(17+114+142)；然后再把分母相同的分数加起来：
12+27+214+142；由于算式中出现了一般分数，接下来又得把它们拆成单分子分数：
12+14+17+128+142。
这样一道简单的分数加法题，古埃及人算起来都这么费事，如果遇上复杂的分数运算，他们算起来又该是何等的吃力。
在西方，分数理论的发展出奇地缓慢，直到16世纪，西方的数学家们才对分数有了比较系统的认识。甚至到了17世纪，数学家科克在计算35+78+910+1220时，还用分母的乘积8000作为公分母！
而这些知识，我国数学家在2000多年前就都已知道了。
我国现在尚能见到最早的一部数学着作，刻在汉朝初期的一批竹简上，名字叫《算数书》。它是1984年初在湖北省江陵县出土的。在这本书里，已经对分数运算作了深入的研究。
稍晚些时候，在我国古代数学名着《九章算术》里，已经在世界上首次系统地研究了分数。书中将分数的加法叫做“合分”，减法叫做“减分”，乘法叫做“乘分”，除法叫做“经分”，并结合大量例题，详细介绍了它们的运算法则，以及分数的通分、约分、化带分数为假分数的方法步骤。尤其令人自豪的是，我国古代数学家发明的这些方法步骤，已与现代的方法步骤大体相同了。
例如：“又有九十一分之四十九，问约之为几何？”书中介绍的方法是：从91中减去49，得42；从49中减去42，得7；从42中连续减去7，到第5次时得7，这时被减数与减数相等，7就是最大的公约数。用7去约分子、分母，那就得到了49／91的最简分数7／13。不难看出，现在常用的辗转相除法，正是由这种古老的方法演变而来。
公元263年，我国数学家刘徽注释《九章算术》时，又补充了一条法则：分数除法就是将除数的分子、分母颠倒与被除数相乘。
而欧洲直到1489年，才由维特曼提出相似的法则，已比刘徽晚了1200多年！
苏联数学史专家鲍尔加尔斯基公正地评价说：“从这个简短的论述中可以得出结论：在人类文化发展的初期，中国的数学远远领先于世界其他各国。”
天外来客
我们在前面讲述过毕达哥拉斯的故事。在西方数学史上，他还以发现毕达哥拉斯定理而闻名。
毕达哥拉斯定理的内容是：在直角三角形里，两条直角边的平方和，一定等于斜边的平方。这是几何学里一个非常重要的定理。
相传毕达哥拉斯发现这个定理以后，高兴得不得了，宰了100头牛大肆庆贺了许多天。
说来有趣，正是这个让他欣喜若狂的定理，后来又使他狼狈万分，几乎无地自容。
毕达哥拉斯有一句名言，叫做“万物皆数”。他把数的概念神秘化了，错误地认为：宇宙间的一切现象，都可以归结为整数或者整数的比；除此之外，就不再有别的什么东西了。
问题就出在这里。有一天，毕达哥拉斯的一个学生，在世界上找到了一种既不是整数，又不是整数之比的怪东西。
这个学生叫希伯斯，他研究了一个边长为1的正方形，想知道对角线的长度是多少。
从图上看得很清楚，对角线与正方形的两条边组成了一个直角三角形。根据毕达哥拉斯定理，希伯斯算出对角线的长度等于2。
可是，2既不是整数，也不是整数的比。他惶惑极了：根据老师的看法，2应该是世界上根本不存在的东西呀？
希伯斯把这件事告诉了老师。毕达哥拉斯惊骇极了，他做梦也没想到，自己最为得意的一项发明，竟招来一位神秘的“天外来客”。