第二十章历史上的第一部算经：《九章算术》
在中国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》相媲美的书，这就是历来被尊为算经之首
的《九章算术》。它是我国现存最早的数学专著，其传本包括《九章算术》原文、曹魏刘徽
注、唐初李淳风等注释三部分内容。
《九章算术》集先秦至西汉我国数学知识之大成，到唐时列入国子监算学诸生必读的“十部
算经”之一。全书搜集了246个问题，按问题性质和解法将246个问题分为9章，系统地总结
了先秦至西汉时期的数学成就，许多成果在当时都处于世界领先地位。它的成书标志着中国
传统数学体系的确定。
《九章算术》刘徽作注
关于《九章算术》的作者仍然是个谜，然而1983至1984年在湖北省江陵县张家山247号汉墓
中所发现的几部竹简书已弄清一些背景情况。其中有一部名为《算数书》，其体例及内容看
上去与《九章算术》的体例内容有密切的关系。但这部著作损坏严重，因而迄今只颁布了有
关其内容的一段简短而初步的叙述。对《九章算术》作注释最早的可能是徐岳(活跃于220年
左右)，据说他也是至今尚存的《数术记遗》一书的作者。他的注释一直到隋唐都为人所知
，但到宋代却失传了。至今尚存的最早注释为刘徽所作，据《隋书》卷十六，第404页载，
刘徽作注于曹魏时代，其年代为263年。然而，在关于圆田面积的注释中，刘徽提到了保存
于晋武库(建于265)中的铜斛，由此可知，他在为新王朝服务的同时还一直对《九章算术
》作注。
刘徽的注释为古代数学的伟大成就之一，然而遗憾的是当今对他的生平身世难以考证，只知
道他是山东邹平人。刘徽
是一位大数学家，尤其是以他对圆周率所作的研究而闻名。刘徽证得圆周率的
最终值相当于π=314。
另外要指出的是，刘徽在对《九章算术》作完注释之后，又新增加了“重差”一章，论述使
用晷表测望的方法。隋唐时，这部分内容作为第十章仍缀于《九章算术》之后，但是到了唐
代，它开始以单行本流行传播，并被人依据它第一个问题的名称取名为《海岛算经》，此书
至今仍然存在。
656年，李淳风奉敕编写为太学所使用的数学课本(《旧唐书》卷七十九
，第2719页)，出于此目的，他以带有刘徽注释本子为底本，对《九章算术》作了一个再注
本。李注中保存了一些令人关注的早期资料。正是由于他的工作才使得通行本固定了下来。
此外，北宋皇家图书馆成员李籍也提供了注释资料，在该书于1084年刊印以前，他还增添了
一篇附录，名为《九章算术音义》。
从《九章算术》的连贯性及条理性足以表明它很可能由单一作者写成或编纂而成。它属于汉
代著作，这从来无人置疑，但它所包含的数学知识中有很多至少可以追溯到战国时代。
《九章算术》通行本的真实性是无庸置疑的，关于这部著作尚存的所有版本皆可追溯到北宋
皇家图书馆于1084年所刊印发行的一部收有九种数学著作的丛书(其中也包括《周髀算经》)
。《九章算术》与刘徽、李淳风的注释以及李籍的附录一同得到了刊印，这种印本并没有保
存到现在，而我们所得的是鲍浣之于1213年重新刊印后所保留的本子。据他的后叙中所言，
在1126年北宋灭亡之后，关于《九章算术》的研究几乎彻底停滞了，当时不仅很少有学者对
此问题感兴趣，而且惟一可得的本子也缺少刘注与李注等必要的注释，而且说成是黄帝所作
。
庆幸的是，1200年夏，一册1084年皇家图书馆原印的本子落到了鲍浣之一位杭州朋友之手，
于是他抄写下来并予以刊刻。到了明代，鲍本被抄入了《永乐大典》中。一部鲍本的残本(
只有1到5章)现藏于上海图书馆。
算经之首领先世界
《九章算术》分类搜集了246个问题，并给出了每
个问题的解答，显然该书旨在对当时的数学知识作出全面叙述。并且
每举出一个问题之后，紧接着是数值答案，然后是解题的详细过程。每个问题都以特殊的数
字实例来表述。在缺乏代数表示法的情况下，解题方法用修辞法来表述，即描述对于数据所
实施一系列算术运算的语言指令。它从未明确尝试想要证明所用方法的有效性。书中的246
个应用问题，分属方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章。
方田章给出了求得矩形、三角形、梯形、圆形、弓形、扇形、环形等各种形状田亩面积
的法则。
在计算圆形的面积中设定π=3；
而对于弓形、扇形所给出的法则是近似的。
就直线构成的图形而言，所给出的法则是精确的。
此外，本章还阐明了分数运算的法则。分数的通
分、约分和加减乘除四则运算的完整法则。后者比欧洲早1400多年。粟米章提出比例算法，
称为今有术。衰分章提出比例分配法则，称为衰分术。商功章除给出了各种立体体积公式外
，还有工程分配方法。均输章用衰分术解决赋役的合理负担问题。
今有术、衰分术及其应用
方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西
方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。
盈不足章提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干
可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。
方程章采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵。这是世界上最早的完整的
线性方程组的解法。
这一章还引进和使用了负数，并提出
了正负术——正负数的加减法则，与现今代数中法则完全相同；解线性方程组时实际还施行
了正负数的乘除法。这是世界数学史上一项重大的成就，第一次突破了正数的范围，扩展了
数系。外国则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识负数。
勾股章提出了勾股数问题的通解公式：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦，则c：b：a=12 (m２+n２)：mn： 12 (m２+n２)，m＞n。在
西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况，直到3世纪的丢番图才
取得相近的结果，这已比《九章算术》晚约3个世纪了。勾股章还有些内容，在西方却还是
近代的事。例如，最后一题给出了这样一组公式：a=2(c-a)(c-b) +(c-b
)，b=2(c-a)(c-b) +(c-a)，c=2(c-a)(c-b) +(c-a)+(c-b)。这项成
就，在国外直到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出。
由上述，可以看出《九章算术》以计算为中心的特点，密切联
系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格。其影响之深，以致以后我国数
学著作大体采取两种形式：或为之作注，或仿其体例著书；甚至西算传入中国之后，人们著
书立说时还常常把包括西算在内的数学知识纳入“九章”的框架。
《九章算术》的算法抽象，相互关系不明显，显得零乱。刘徽大大发展深化了中算中
长久使用的率概念和齐同原理，把它们看成运算的纲纪。许多问题，只要找出其中的各种率
关系，通过“乘以散之，约以聚之，齐同以通之”，都可以归结为今有术求解。
把一个平面(或立体)图形分解
成若干部分，各部分面积(或体积)之和与原图形面积(或体积)相等。一平面(或立体)图形经
过平移或旋转，其面积(或体积)不变。基于这两条不言自明的
前提的出入相补原理，是我国古代数学进行几何推演和证明时最常用的原理。刘徽发展了出
入相补原理，成功地证明了许多面积、体积以及可以化为面积、体积问题的勾股、开方的公
式和算法的正确性。
在数学证明中成功地运用无穷小分割和极限思想，是刘徽最杰出的贡献。
《九章算术》提出圆面积公式为S=l2π·r(S为圆面积，l为圆周长，r为半
径)
。刘徽根据此公式，求出了π的两上近似值15750和3927
1250， 在中国第一次创立了求圆周率的科学方法，奠定了我国圆周率研究在世界
长期领先的基础。
刘徽注关于体积问题的研究已经接触到现代体积理论的核心问题，认为四面体体积的解决是
多面体体积理论的关键，而用有限分割和棋验法无法解决其体积。为了解决这个问题，他提
出了一个重要原理“邪解堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳为居二，鳖臑居一，不易之率也”，这就是所谓
的刘徽
原理。而近代数学大师高斯、希尔伯特才讨论这个问题，已是近100多年以来的事。
关于祖晅之原理刘徽进行了多方面的阐述，并由
此证明了《九章算术》中球体积公式的错误。他设计了牟合方盖，指出球与牟合方盖的体积
之比是π∶4，只要求出后者的体积就可以求出球体积了。他尽管没能求出牟合方盖的体积
，但诚恳地表示“以俟能言者”，表现出刘徵的坦荡胸怀。这个问题后来由祖冲之
父子彻底解决，李淳风注释《九章算术》时详细记述了祖氏的方法。
刘徽注中还有其他方面的辉煌成就，如对开方不尽，提出继续开方，求其“微数”，以十进
数逼近无理根，开十进小数之先河；他还认识到不定方程有无穷多组解，等等，刘徽注形成
了一套数学体系，他说“事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干知，发其一端而已。”
他认为数学是“规矩”与“度量”亦即空
间形式与数量关系的统一。基于这些深刻的认识，他的证明除个别失误外，都论点明确，论
据充分，条理清晰，推理严谨；而且大都使用演绎推理，不是循环论证，是严格的数学证明
。有了刘徽的证明，《九章算术》的公式解法，才能得到后人的认可。
《九章算术》及其刘徽注，以杰出的数学成就，独特的数学体系，对整个世界的数学发展产
生了深远的影响，在科学史占有极为重要的地位。它的出现，标志
着从公元前1世纪开始，中国取代古希腊成为世界数学的中心，奠定了中国数学领先世界1500多年的基础。今天，随着计算机的出现和发展，它所蕴含的算法和程序化思想，仍给
数学家以启迪。吴文俊先生指出“《九章》所蕴含的思想影响，必将日益显著，在下一世纪
中凌驾于《原本》思想体系之上，不仅不无可能，甚至已是殆成定局，本人认为也绝非过甚
妄测之辞。”