第八章分工理论与博弈论 (2)
“不错，”狐狸道，“决策无论如何改动，其改动部分都只会带来损失。这反映到导数上……”
“可是极值时一阶导数(一阶导数：函数值在某点随自变量变化的变化率。)为零，按你刚才所说带走利益，其导数当为负数才对。”绛仙还是不解。
“呵呵，听我说完么，”狐狸笑着摇头，“一阶导数为零，那是因为这个改动太微小了，无法在一阶导数上反映出来，但是你看二阶导数二阶导数：一阶导数在某点随自变量变化的变化率。不就是负的了？如果改动比较大的话，你用结果的变动去除以决策的变动，一下子便是负的了，这其实便是一阶导数的表达。”
看到绛仙不再困惑，狐狸接着说道：“一阶二阶的问题，其实就是泰勒公式展开。呵呵，不过这个姑娘懂不懂都没关系，大致原理我已说清楚了。”
“蚁兄刚才所说决策改变时，只能带走利益，此时便是极值。实在是说到了核心。”
“杨之角点解，因在约束边界上，故即便函数连续，其一阶导数也不为零，然而这边际分析的思想却没有改变：在角点解的约束边界上，决策（自变量）些许变动，必定带来损失。而且因为此时一阶导数不为零，所以此损失一般更要大得多。”
“现再推广到离散点的情况。譬如对策问题的纳什均衡，其定义是没有人独自改变决策来使自己的境况更好。你看这其实岂不是说，决策的改变部分，带走了利益？所以这也是边际分析来求极值，只不过这个边际的数量级远远大于微分罢了。”
“事实上，所谓边际，便是题设许可的最小度量单位。这个度量单位在连续函数中是微分，在离散点中，便是一个一个的具体数值。”
“我好像有点明白了，”绛仙眉头稍有舒展，“那便是说边际也好，超边际也好，或者是博弈论中的纳什均衡也好，其实在数学意义上，并无根本区别。”
文书却是很不服气：“姑娘所说倒是轻巧，那博弈论何等高深，在今日之中土，能懂此门功夫者，亦不过三个半人，姑娘怎敢说此大话？”
蚂蚁点头称是：“天下武学，本异曲同工，说起来这比较优势理论的渊源，虽是《国富论》，但其理论基础，却是博弈论，那杨小凯的《原理》一书倒有大半本是讲这些。”
绛仙一时面红耳赤。
狐狸不动声色，淡淡笑道：“博弈论此门武学，在下闲暇休息之间，也曾偶尔翻过，果然艰深。但细瞧之下，却觉得那艰深之处，原不是在博弈论本身，却是那些作者未能把此弄得精熟。便是再简单不过的道理，也被著者写得零零碎碎，搞得乱七八糟，花样百出，却是可叹！”
蚂蚁有些尴尬，疑道：“这博弈论博大精深，概念定理何止几十条，博弈方法更是数不胜数，单单一个均衡概念，便有占优均衡、纳什均衡、子博弈精炼纳什均衡、贝叶斯纳什均衡、序贯均衡、颤抖手均衡等（占优均衡、纳什均衡、子博弈精炼纳什均衡、贝叶斯纳什均衡、序贯均衡、颤抖手均衡：他们分别是博弈论均衡的一种。在后面的文章中大部分会进行解释。）不下十几种；论其发展，其自身获得诺贝尔奖不论，今年那得诺贝尔奖的非对称信息理论，亦不过是博弈论的一个小小模型而已。”
“就是！”那文书又插嘴进来，“以前见面打招呼，人们都说，你吃过了吗？今年见面打招呼，人们都说，你知道非对称信息吗？谁要没有这样问，他便一定是乡下来的！”
狐狸乐了：“这些不过是花架子糊弄人尔，有何惧哉！”
那蚂蚁一直在旁边袖手微笑，待到此时，方才向狐狸说道：“狐兄豪气干云，小弟十分敬佩，倒想领略一番。”
狐狸笑道：“不知蚁兄是要下里巴人还是要阳春白雪？”
蚂蚁奇道：“下里巴人又如何？阳春白雪又如何？”
狐狸缓缓说道：“下里巴人，至俗也，便是那乡间七旬老母，犹能听得手舞足蹈，击节而歌。却可惜譬如那山溪之水，来势汹汹，去也匆匆，入骨不过三分矣。”
“那阳春白雪，又当如何？”
狐狸道：“夫阳春白雪也，一望无垠，恰似大海潮生，初时广袤沉静，星光点点，不觉有异。然细心听处，远方隐隐似有天籁之音，像那闷雷滚过，却又悠扬有如长笛呜咽。待到听得更是真切之时，又有冰河破碎，清泉下流，入小河，汇大江，浩浩荡荡，终归大海，成了万丈涛声，千年不绝。”
蚂蚁叹道：“怎信世间能有如此神奇之学问。你且先让我们听听那下里巴人罢！”
狐狸道：“博弈便是赌博。”
绛仙不满道：“我说不准赌博的！”
蚂蚁摇手道：“姑娘莫恼，刚才既是我说要下里巴人，才有赌博这些鄙陋之事，须不要怪狐兄。”
狐狸宛尔笑道：“姑娘也可把它看作打架。博弈之要义，先要知你是谁，要看你出手，然后我的还手必要是最有利自己。此为最基本也。”
“然高手过招，赢在料敌机先。纵然彼先出手，但既知我是谁，故出手后，必要想以我之能，当如何还手。彼出招与我还招，构成一个局面，非但可定我之生死，亦可以定彼之生死。彼必要选择对其最有利的局面为先着。是故彼未出手，我已知其意矣。”
“那也未必！”绛仙插嘴道，“我可以用对方从来没有见过的天山折梅手，对方防不胜防，便无从计算得失了。”
“姑娘莫急，”狐狸道，“博弈论中，什么样的人用哪些招数，都是事先假定好的，也是大家各方都知道的，而且大家都知道大家知道的，却不允许你弄些稀奇古怪的旁门左道来捣乱。”
“狐兄之意我已知之，”蚂蚁沉吟道，“于我方，最想知道的是对方如何出手，只要确定对方的招数，我便可以在此前提下选择于自己最有利的应对措施，得到一个我的盈利函数。然而对方也能想像到我盈利函数最大化下的出招，并因此计算他自己的所得。对方所出招必定是能使他盈利最大的招数。”
“所以我便可知对方如何出招，对方也知我会如何应对。我若不如此应对，必定吃亏；对方若不如此出招，必定不能使其利益最大。”
“Nod，”狐狸点头，“这些招数的组合，便成为了一条均衡路径。”
“但凡事总要未雨绸缪，难保中途哪个出错，出了一个对他自己不利的臭招，你下一招也得针对新情况，解决新问题。”
“所以，对于局中人任何招数，无论香臭也罢，如果真的发生了，我们就要根据前面蚁兄说的原则重新计算出招和应招。但是我们只朝前看，不算旧账。”
“如果每一个回合的每一招（无论这一招的出现如何愚蠢）我们都想好了其后的最佳出招和应招，即任何招数的出现，其后都有均衡路径；而最长的那条均衡路径，为整个博弈的均衡路径。那么，我们就算完事大吉，高枕无忧了。”
但文书还是不服气：“你这个总是分了出招的先后顺序，所以别人出后你可以悠然地选择自己最优的。倘若你们都是同时出招，你看到对手出招时，你的剑也已经刺出，变不了招，岂非全都乱了套？”
狐狸笑道：“文书想得周到。不过这个虽原理与前无异，倒也不好用话来说，且先等它一等。”
“狐兄总是这么刚愎自用，”绛仙幽幽地叹口气，“俗话说，画虎画皮难画骨、知人知面不知心。你怎么就一定知道对方是什么人？”
狐狸的心不觉颤了一下，因为很久以前自己也曾这般叹过，故而听来分外熟悉。
不过这好比微风吹起的一丝涟漪，很快就从水面的这边，掠过水面的那边，然后就消失了。
狐狸道：“按博弈论的要求，我们即便不知道对方一定是什么人，但却知道他属于哪一类人的概率。譬如是好人的概率是2/3，坏人的概率是1/3。能够知道这个，我们也可以作出选择了。”
“但是……”绛仙欲言又止，因为她想到了1/3的那种可能，所以她并不满意狐狸的这个回答。但是她知道这已经是最好的回答。所以也不再问。
狐狸笑着把眼睛从她身上扫过。
“先前我们知道博弈中每个人是什么类型，然后我们可以算出每个人的盈利函数，每个人的决策，便是根据这盈利函数来的。现在我们只知道每个人属于哪个类型的概率，也还是一样按照刚才的步骤进行，只不过盈利函数成为数学期望值罢了。无论先出招还是后出招，都是一样希望自己的盈利期望最大。”
文书嚅嗫道：“这个数学期望……”
狐狸乐了：“大二数学便有这些东东，文书缘何记不得了？譬如你有1/3的可能得到9元钱，有2/3的可能得到18元钱，那你可能得到钱的数学期望是15元(即9×13 +18×23 =15)。一个量乘以自身的概率，便是数学期望。”
说到这里，狐狸不觉朝蚂蚁望了一下：“现在所说，虽力图下里巴人，但……”
蚂蚁已知其意，挥手道：“下里巴人也不应是文书这样的幼儿园水平，概率的起码意义要懂！”
“换言之，”蚂蚁笑道，“即便国人素质低，狐兄要说的，也至多是阳春白雪，未可算是艳阳高照。在下还听得懂，尽管放心地说下去。”
狐狸摇头道：“我要说的，就要说完了。现在我们在每个局中人的类型、每种类型局中人的各个招数上，都各假设一个概率，这些概率假设可全用符号来表示未知量，他们可以代表小数，可以代表0，也可以代表1。”
“但是引入这些符号之时，便要这些符号之间满足概率上的约束，譬如归一化约束。作为代数式，这种约束是可以满足的。”
“此时，局中人选择策略，实质上便是计算概率。概率为0，便不选此策略；概率为1，便一定选此策略；概率若为小数，则为混合策略。”
“令μa，μb，μc……为A，B，C……决策顺序中局中人所属类型的概率向量（各个决策顺序的局中人可同可不同，但我们只把顺序作为区分标准），βa，βb，βc……为分布在相应局中人各招数上的概率向量。注意，这儿μa，βa等都是向量，譬如μa=(μ？a1？，μ？a2？……μ？an？)”
“由此可以列出依照A，B，C……的先后次序决策时，各人的盈利代数式：
Ua=fa(μa，μb，μc……；βa，βb，βc……βn)
Ub=fb(μa，μb，μc……；βa，βb，βc……βn)
……
Un=fn(μa，μb，μc……；βa，βb，βc……βn)”
“现在先不考虑出招较早的那些人，首先考虑最后一个决策者，他当取β*n使得U？n=maxfnβn (μa，μb，μc……；βa，βb，βc……βn)的β*n策略。此时，β*n可以表示为μa，μb，μc……；βa，βb，βc……β？n-1？的函数式。因此可得（n-1）个决策者的盈利式为：
U？？n-1？=maxf？n-1？β？n-1？ (μa，μb，μc……；βa，βb，βc……β？n-1？)