一、美女与老虎
从前有个国王，在惩罚罪犯时有个古怪的习惯：把罪犯送进竞技场，竞技场的一端有两扇一模一样的门，门后分别关着一只凶猛的老虎和一位美女。国王惩罚犯人的方式就是让他自己挑一扇门，如果他选中老虎，那么后果可想而知；如果选中少女，他不但可以马上获释，还可以抱得美人归。
一天，国王发现有位英俊潇洒的臣子与公主私通，一怒之下，他把这个青年送到竞技场，处以传统的惩罚。
事前，公主已经知道哪扇门背后藏的是什么，于是相当苦恼，不知该把爱人送入虎口，还是送到另一个女人的怀抱？
当命运攸关的这一天到临时，在别无选择的情况下，这位臣子在竞技场上望了公主一眼，公主示意他选择右边那扇门，他打开门……故事就到此为止。
只把一个悬念留给我们：他遇到的是美女还是老虎？
假如你自己陷入了故事中的那个境地，你该如何选择？两种选择的结果好坏是明摆着的，可是指导我们选择的信息却很少，而且不可靠。
这个故事其实反映了一个人们熟知的概念，那就是概率。明天会不会下雨？丢铜板会出现正面还是反面？想拿到一手好牌吗？这些问题都涉及概率。
某种事件在同一条件下可能发生也可能不发生，表示发生的可能性大小的量叫做概率。
例如，在一般情况下，一个鸡蛋孵出的小鸡是雌性或雄性的概率都是二分之一。
按照巴特勒的说法，概率是“生活的真正指南”。概率论已经广泛运用于科学、技术、经济和生活的各方面。要打好作决策的基础，就得在概率方面多下点工夫。
在许多决策中，决策者必须单凭些片面的信息，甚至没有任何信息的情况下，从好几个选择方案中挑选其中之一，这个时候，就不得不乞灵于运气了——或更准确地说，听命于概率的拨弄。
人们对概率存在着三种解释：
第一，概率为事件发生的频率。如：人们掷硬币时，出现正面的概率，是出现正面（或反面）的次数与总的掷出的硬币次数之比率。
第二，命题之间的逻辑关系。如：“一只天鹅是白的”对“所有天鹅是白的”支持程度。
第三，人们对外界事件发生的相信程度。如：张三认为“明天下雨”的可能性小，为0.2（不下雨的可能性为0.8）；李四认为“明天下雨”的可能性与不下雨的可能性一样（均为0.5）。
这就是对概率的“频率主义”、“逻辑主义”和“心理主义”的解释。概率的这三种解释反映了人们在实际生活中的三种用法。
概率论已经广泛运用于科学、技术、经济和生活的各方面。要打好作决策的基础，就得在概率方面多下工夫。
二、阿里巴巴和大盗玩赌博游戏
阿里巴巴和大盗在玩一个赌博游戏。
阿里巴巴说：“我向空中扔三枚硬币。如果它们落地后全是正面朝上，我就给你10分。如果它们全是反面朝上，我也给你10分。但是，如果它们落地时是其他情况，你得给我5分。”
大盗说：“让我想想。至少有两枚硬币必定情况相同，因为如果有两枚硬币情况不同，则第三枚一定会与这两枚硬币之一情况相同。而如果两枚情况相同，则第三枚不是与这两枚情况相同，就是与它们情况不同。第三枚与其他两枚情况相同或情况不同的可能性是一样的。
“因此，三枚硬币情况完全相同或情况不完全相同的可能性是一样的。但是你是以10分对我的5分来赌它们的不完全相同，这分明对我有利。
“好吧，我打这个赌！”
结果大盗输得一败涂地。
大盗为什么会输？难道他的上述推理完全是错误的吗？是的，他的上述推理是完全错误的。
为了弄清三枚硬币落地时情况完全相同或不完全相同的几率，我们必须首先列出三枚硬币落地时的所有可能性。
简单说，一共有八种情况，而只有两种情况是三枚硬币完全相同。
这意味着三枚硬币情况完全相同的可能性是1/4，三枚硬币落地时情况不完全相同的式样有六种，因此其可能性是3/4.
换句话说，阿里巴巴的打算是，从长远的观点看，他每扔四次硬币就会赢三次。他赢的三次，大盗总共要付给他15分。
大盗赢的那一次，他付给大盗10分。这样每扔四次硬币，阿里巴巴就获利5分——如果他们反复打这个赌，阿里巴巴就有相当可观的赢利。
在很多赌博游戏中，如果你一味相信自己概率的直觉，就可能输得很惨。
例如，有人请你玩以下游戏：在一个帽子里有三张卡片，一张两面都是黑的，一张两面都是白的，还有一张两面一黑一白，他从里面摸出一张（如果你怕他做手脚，也可以由你来摸），摊到桌面上，当然，朝上这一面可能是黑的，也可能是白的，现在他和你打赌背面的颜色与上面一致，你打不打这个赌？
看起来，这是个对等赌局，如果这一面是黑的，那就一定排除了两面都是白的那一张，因此，这张牌要么是两面黑，要么是一黑一白，所以你的机会是一半，对不对？
如果它真是公平的，对方怎么会那么容易赢了你的钱呢？其实这个赌局是2：1对他有利。
关键在于：可能的情况是三种，而不像你以为的那样是两种：它可能是：黑（A面朝上）—黑、黑（B面朝上）—黑、黑—白，也就是说：对方有2/3的机会赢你。
在较为复杂的赌局里，比较不容易计算概率，有时概率会骗人，或未知，或被忽略。
三、囚犯的错误
非洲草原上的部落酋长抓住三个贸然闯入领地的入侵者：史密斯、琼斯和费奇。
酋长决定明天将处决他们之中的两个。究竟处决哪两个，由酋长来决定，并且已经做出决定。
谁被选中，酋长和看守是知道的，三个囚犯在处决前是不知道的。当地的法律规定不允许看守透露给囚犯该囚犯是否被选中的任何信息。
这三个囚犯被分别关押，彼此不通消息。
晚上，费奇恳切地询问看守，明天自己是否将被处死。看守考虑到不管费奇是否被选中，另外两人之中的一个总要被处决。
所以看守说：“我们不能告诉你，你是否被处死，但琼斯将被处决。”在看守看来，告诉费奇“琼斯将被处死”并没有向费奇透露任何与他有关的信息。
但是，费奇听到看守说出“琼斯将被处决”，非常高兴。他推断，他逃脱厄运的概率已经从1/3提高到1/2.
对同一句话“琼斯将被处决”，费奇与看守看法出现了不同：在看守看来，这句话对费奇没有任何信息内容，而费奇则认为这句话里包含新的信息。
事实上，这两个人的推断不可能均正确。谁的推断有错？是费奇的还是看守的？
费奇计算了在“琼斯被处决的条件下”，自己被处死的概率，此时费奇处死的可能性确实降低了。
但这里的条件不是“琼斯将被处决”而是“看守告诉费奇‘琼斯将被处决’”。这是两个不同的条件。
由于看守是守法的，看守想，琼斯和史密斯之中必定有一个将被处死，而这也是费奇知道的，看守认为，他只不过将费奇知道的事情告诉费奇而已。因此，错误在费奇的推理。看守的话并没有增加费奇不被处决的概率。
如果我们没有理由说明某事的真假，我们就选对等的概率来表明它的真实程度，这是“中立原理”。但这只能应用于客观情况是对称的这一前提。
四、抽奖者的难题
有三个门A、B、C，三个门中有一个门的后面有一辆汽车，另外两个门的后面一无所有。
现在让一个人来选，如果他选的门后面有汽车，他将得到汽车；如果他选择的门的后面一无所有，他将一无所得。
假定该选择者选择了一个门，比如C门。主持人知道每个门后面的情况，如果另外的两个门中的一个门的后面肯定没有汽车。现在主持人打开了另外两个门中的一个——该门的后面没有汽车，比如B门。对于主持人来说，这没有告诉选择者的任何信息。
现在主持人告诉选择者还可以改变选择，即在已选择的C门和未打开的A门之间进行选择。
问：选择者应不应该改变他的选择？
这个人无从选择，陷入了烦难之中。
主持人打开其中一扇门，使得选择者原来选择的门即C门后面有汽车的概率增加了，即从1/3增加到1/2.或者，没有增加选择者选择C门后面有汽车的概率，即选择C门后面有汽车的概率仍为1/3，这样，A门后面有汽车的概率增加了——从1/3增加到2/3.
哪一种看法对呢？
这里，主持人的行为增加了选择者的知识——B门后面有汽车的可能性得以排除，这是确定无疑的，但是主持人的行为增加了选择者已经选择的门（C门）的概率，还是增加了另外一个门（A门）的概率？
主持人的行为并没有增加他原来选择的门（C）后面有汽车的概率，即C后面有汽车的概率仍为1/3，但是主持人的行为使A门后面有汽车的概率增加了：从原来的1/3增加到2/3.因此，选择者选择从原来的选择C门改变到A门是合理的选择，得到汽车的概率从原来的1/3增加到2/3，即选择者应当改变他的选择。
这里的概率有其客观基础，而不是纯粹的心理信念。这里的概率为“频率”。
我们设想一下，如果让选择者重复选择的话，那么，他选中汽车的次数与总的选择次数之比为1/3.
既然如此，在每次的选择过程之中，他应当相信，他所选的门后面有汽车的可能性为1/3，而不管主持人是否打开另外的一个空门。
即，当主持人打开空门时，选择者已经选择的门后面有汽车的可能性仍为1/3，主持人的行为只是增加了另外一个没有打开的门后面有汽车的概率：由1/3增加到2/3.如果问选择者是否改变他的选择，选择者当然应当调换他的选择。
这如同你去抽奖：假定一百万张彩票中有一张有奖，你随机买了一张。
假定举办者知道哪张彩票有奖，他对你说：其他999998张彩票中没有奖，你手里的一张彩票和另外一张彩票中必有一个有奖——他不说假话。
规则规定你可以与另外的彩票调换。举办者问你：你应当继续持有你手里的这张彩票还是换另外一张彩票？
你面临着这样的选择。此时，你当然要选择调换：如果选择调换，你中奖的可能性为999999/1000000；不调换的话，你中奖的可能性为1/1000000.
所谓的决策概率是指0到1之间，用来测量某件事发生的可能性的数字。用猜测也可以，但千万别高估自己的技巧，这是很多人常犯的错误。