新课引入有效“问题情境”的创设
新课程强调让学生在现实情境和已有的生活、知识经验的基础上学习和理解数学，“问题—情境”是数学课程标准倡导的教学模式。“问题情境”是当已有知识不能解决新问题时而出现的一种心理状态。它包含两层含义：首先是有“问题”，即数学问题，数学问题是指学生个体与已有的认知产生矛盾冲突，还不能理解或者不能正确解答的数学结构，“问题”不可以用已有知识和经验轻易解决，否则就不成为问题了，当然，问题的障碍性不能影响学生接受和产生兴趣，是学生通过探索能获得解决的，否则，至少不能称为好问题。其次是“情境”，即数学知识产生或应用的具体环境，这种环境可以是真实的生活环境、虚拟的社会环境、经验性的想象环境，也可以是抽象的数学环境等等。也就是说，问题和情境的关系中，“问题”是核心的，“情境”是辅助的，“问题情境”是指问题的刺激模式。在新课的引入过程中，教师要对教材内容进行二次开发，精心创设问题情境，通过教师的适当引导，使学生进入最佳的学习状态，同时还要激活学生的主体意识，充分调动学生的积极性、主动性和创造性，使学生最大限度地参与探究新知识活动，让学生在参与中感受成功的兴奋和学习的乐趣，促使学生全身心地投入学习。
一、创设有效“问题情境”的必要性
1创设《问题情境》可以使学生集中注意力
学生在上课前可能从事各种各样的活动，其兴奋点也可能还沉浸在刚才的活动中，那么怎样才能使学生实现兴奋中心的转移呢？关键在于“问题情境”的引入，只要“问题情境”创设得好，就能使学生离开从事的活动，集中自己的注意力，全身心转到课堂上来。
2创设“问题情境”能够激发学生学习的兴趣
精彩的“问题情境”引入，会使学生如沐春风、如饮甘露，进入一种美妙的境界。教育家第斯多惠说：“教学成功的艺术就在于使学生对你所教的东西感到有趣。”创设“问题情境”，可使学生产生浓厚的兴趣，并怀着一种期待、迫切的心情渴望新课的到来。本文中的案例一这样的“问题情境”的引入，不仅容易吸引学生的注意力，还容易激发学生的兴趣、增强学生的求知欲，进而有效地调动学生学习的主动性和积极性。
3创设“问题情境”能承上启下，使学生有准备、有目的的进入新课的学习
孔子云：“温故而知新。”创设“问题情境”引入新课，可以起到复习旧知识、引出新知识，起到在新旧知识之间架起桥梁的作用。为学生学习新知识明确目标，打下基础。像案例五这样的问题情境引入既复习了旧知识，又巧妙地引出了新授课的内容，起到了承上启下的作用。
二、有效“问题情境”的特征
有效有三层含义：（1）有效果：指对教学活动结果与预期教学目标的吻合程度的评价；（2）有效率：教学效果和教学投入的比值；（3）有效益：指教学活动的收益、教学活动价值的实现，从操作层面上说，有没有效益是指教学目标与特定的社会和个人的教学需求是否吻合的评价。
什么样的“问题情境”才算“有效”？按照前面的论述，一个好的“问题情境”，除了具有数学的必要因素与必要形式外，至少必须满足以下几个特征。
第一，量力性：所创设的“问题情境”的难度应该趋向于学生思维的“最近发现区”，使学生可以“跳一跳，摘桃子”。“问题情境”的创设要符合学生一般认知规律、身心发展规律，包括学生的知识经验、能力水平、学习习惯、生活经历及基本心理状况等。
第二，直观性：能够提供某种直观，符合数学学科特点，使学生借助于这种直观，领悟数学实质，提炼数学思想方法，灵活运用数学。
第三，开放性：问题富有层次感，入手较易，开放性强，解决方案多，学生思维与创造的空间较大。
第四，挑战性：“问题情境”能引起学生的认知冲突和学习心向，能激发兴趣，促进学生主动地参与探究，接爱问题的挑战。
第五，体验性：能给学生提供深刻体验，使学生能够感受、体验数学，并有助于学生发现问题，提出问题。
另外，教师除了丰富的教学经验、先进的教学理念和高度的工作热情之外，还应非常熟悉和了解学生，并且对问题的认识“深”且“广”，能够在高观点之下进行“问题情境”的创设；“问题情境”的创设是否有效需经课堂检验。
三、创设有效“问题情境”的策略
人们常说：“教学是一门艺术。”它能给学生以智慧的启迪和美的享受。而“问题情境”的创设作为重要的教学手段之一，也是要讲究艺术和策略的。当然，“问题情境”的创设策略离不开上述原则指导。
1引趣激趣策略
近代教育学家斯宾塞指出：“教育要使人愉快，要让一切教育有乐趣。”教育家乌辛斯基也指出：“没有丝毫兴趣的强制性学习，将会扼杀学生探求真理的欲望。”因此，教师设计问题时，要新颖别致，使学生的学习有趣味感、新鲜感。
案例一“相互独立事件同时发生的概率”的引入
情境：（动画）画面背景、擂台、横幅（解题大赛奖品丰厚）。
比赛双方：诸葛亮VS臭皮匠团队。
比赛规则：各位参赛选手必须独立解题，团队中有一人解出即为团队获胜。
人物：诸葛亮、臭皮匠老大、臭皮匠老二、臭皮匠老三。
诸葛亮（手摇羽扇）：依我以往的经验，我解出的把握有80%。
臭皮匠老二（垂头丧气）：老大，你的把握有50%，我只有45%，看来这奖品与咱是无缘了。
臭皮匠老大：别急，常言道“三个臭皮匠臭死诸葛亮”，咱去把老三叫来，我就不信合咱三人之力，攻不下这个擂台！
问题：假如臭皮匠老三解出的把握只有40%，那么这三个臭皮匠中有一人解出的把握真能抵得过诸葛亮吗？
通过创设趣味性的问题情境，增强学生的有意注意，调动学生学习的主动性和积极性，根据不同的认知基础和对问题的不同看法，学生们会作出各自不同的判断。
2设置坡度策略
心理学家把问题从提出到解决的过程称为“解答距”。并根据解答距的长短把它分为“微解答距”“短解答距”“长解答距”和“新解答距”四个级别。所以，教师设计问题应合理配置几个级别的问题。对知识的重点、难点，应像攀登阶梯一样，由浅入深，由易到难，由简到繁，以达到掌握知识、培养能力的目的。《学记》曰：“善问者如攻坚木，先其易者，后其节目。”
案例二“等差数列的前n项和”的引入
情境：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（图略），奢靡之程度，可见一斑。
问题一：你知道这个图案一共花了多少颗宝石吗？即计算1+2+3+……+100
问题二：图案中，第1层到第99层一共有多少颗宝石？即计算1+2+3+……+99
问题三：图案中，第1层到第n层一共有多少颗宝石？即计算1+2+3+……+n
问题四：如数列{an}是等差数列，求a1+a2+a3+……+an
根据“解答距”的四个级别，层层设问，步步加难，把学生思维一步一个台阶引向求知的高度。因此，设置坡度策略充分体现了“不愤不启，不悱不发”的启发式教学模式。
3巧设悬念策略
悬念是一种学习心理的强刺激，使学生产生“欲罢不能”的期待情境，能引起学生学习的兴趣、调动学生的思维和引发求知动机。
案例三“复数的概念”的引入
问题：已知a+1a=1，求a2+1a2的值，学生感到很容易，很快计算出a2+1a2=(a+1a2)-2=-1，再提出问题：为什么两个正数之和为负数呢？
通过在学生的认识冲突中提出问题导入新课，使学生产生“欲知而后快”的期待情境，以激起不断探求的兴趣，既唤起学生对知识的愉悦，又唤起学生参与的热情。
4以形助数策略
华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”数形结合是研究数学的重要方法，“以形助数”是数形结合的主要方面，它借助图形的性质，可以加深对概念、公式、定理的理解，体会概念、公式、定理的几何意义。
案例四“算术平均数与几何平均数”的引入
问题：（实物显示）将一张正方形的纸片，裁剪成四个全等的直角三角形纸片，要求以正方形的边作为直角三角形的斜边，如何剪？
通过学生动手操作，独立思考，展开讨论，教师巡视，可以发现有以下两种情况（如图1、图2）。
再引导、提问、得出a2+b2≥2ab（a、b＞0），再反思：a2+b2≥2ab是否对于a、b∈R也成立呢？
5联系实际策略
数学的高度抽象性常常使学生误以为数学是脱离实际的；其严谨的逻辑性使学生缩手缩脚；其应用的广泛性更使学生觉得高深莫测，望而生畏。在数学教学中教师应根据生活和生产的实际而提出问题，创设“问题情境”，使学生认识到数学学习的现实主义，认识到数学知识的价值，这样也更容易激发学生的好奇心和兴趣，培养学生的主体意识。
案例五“余弦定理”的引入
问题：如图3，在“甬台温高速公路”工程中，为了开凿隧道，要测量隧道口A、B之间的距离，现有皮尺和经纬仪等工具，请你想办法解决？
通过丰富的实例引入数学知识，引导学生应用数学知识解释实际问题，让学生经历自主探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值。
古语云：“学起源思，思起源疑。”教师通过精心设计“问题情境”，提示事物的矛盾，引起学生认知冲突，意图点燃学生思维的火花，激发他们探求的欲望。并有意识地为他们发现疑难问题、解决疑难问题提供平台，引导他们一步一步走向知识的殿堂，让学生真正成为学习的主人。
试论数学课堂提问的“立体优化”
以学生为主体，激发学生的学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯，这是《普通高中数学课程标准（实验）》课堂教学的基本理念之一。众所周知，在数学教学过程中，课堂提问是让学生参与教学的一种好方法。那么教师要怎样设计提问，才能够激发学生兴趣、发散学生思维，让学生畅所欲言，在课堂上充分体现自我，成为学习的主人呢？笔者认为这就需要对课堂提问进行“立体优化”。
一、立体性课堂提问的概念
提问：（广义）是指一切有询问形式或询问功能的句子或教学内容。教师提问：是指教学的提示，或向学生传递“做什么、如何做”的指示。纵观教师在教学过程中的提问可以分成两类：
1线性提问：指只有某条唯一途径，指向某个唯一答案的封闭性的提问，线性提问思路窄、跨度小、答案唯一，教学时显得多而杂乱。
2立体性提问：指可以让学生从多角度、多方位进行思考，答案不唯一的开放性的提问，相对于线性提问而言，立体性提问思路宽、跨度大、答案多种多样。问题的提出，不是以一个答案去束缚学生的思维，而是创造一个自主学习的时空与机会，发散学生的思维，具有巨大的求异性与包容性。
二、两类课堂提问的差异比较
匠心独具的课堂提问可以让学生积极主动的对问题进行思考与探索，碰撞出的创新思维的火花也令人回味无穷。
例如：在《直线方程的一般形式》教学中，我们一般喜欢设计这样几个问题复习引入。
（1）直线方程有几种形式？
（2）怎样定义四种直线方程？
（3）四种直线方程能表示任何直线吗？
（4）它们的条件及适用范围分别是什么？
（5）能不能把几种形式统一成一种呢？
表面看来，这样的线性提问设计合情合理，且具有一定的逻辑性，没什么不妥。客观地讲，如果学生能够解决上述问题，找到这些问题的答案，也算是基本上复习了前面的知识，也能比较顺利的过渡到本节课的课题上来。但是，在整个教学过程中，教师的提问束缚学生的思维，而不是发散学生的思维，学生一直是处于被动学习的状态，主体性得不到发挥。
如果将这些线性提问进行“立体优化”：
问题一：已知直线L过点A（0，2），要求出L的直线方程，还需什么条件？
问题二：能否只用一条方程表示所有过定点A（0，2）的直线呢？
这两个问题的设计，旨在引导学生发现现有知识的不完备，使学生产生不完备的地方能否给予改进、提高的想法，从而使学生发现探求新知识的必要。这样新知识的出现就不是老师“塞”给学生的，而是知识研究的必然性。无论是思考的角度，还是思维训练的深度，都远远超出了前面五个线性提问，容易激发起学生学习研究的兴趣，发散学生思维。
线性提问立体性提问
目的获取标准答案给学生一个学习的方向
内容从求同到求同求异与求同相结合
形式求答式求证式
思维训练强调逻辑思维强调逻辑思维与形象思维相结合
训练维度追求深度（单向）广度、深度、角度三结合
注重学习结果学习过程
提问观旨在获取答案（标准答案）旨在引导学生的“学”的行为
为了进一步表述清楚线性问题与立体性问题之间的差异，帮助大家对课堂提问进行具体的立体优化，我从七个不同方面列表进行对比。
从上表可以看出，线性问题与立体问题表现的是两种完全不同的提问观。立体性提问的提出使得每个学生可以从不同观点、不同方向，展开求证式的研究活动，全体学生就能从不同的角度发散思维进行个性化的学习，学生的逻辑思维与形象思维得到同步的训练与发展，发散、求异思维也得到培养。而线性提问的提出虽然也给了学生一个思考方向——寻找标准答案，但是全体学生只有一个唯一的方向（答案），在学习的过程中他们不会有新的发现、新的认识，因为他们的思维已经完全被教师一个接一个的线性问题给束缚死了。
三、课堂提问“立体优化”的理论依据
1教育心理学理论
“学起于思，思源于疑”，精心设计“问题情境”，可以把教师教的主要愿望转化为学生学的内在需要，诱发学生探索性的思维过程，激发学生的学习兴趣。学生有了学习兴趣，学习对他来说就不是负担，而是享受。数学课堂通过在一定的情境下呈现出立体化的问题来展开，使枯燥的、抽象的数学学习转变为问题的探索从在探索的过程中掌握方法和知识，就成为一种享受，一种愉快的体验。
2建构主义学习理论
建构主义认为认识不是主体对客观实在的简单、被动的反应，而是主体以自己已有的知识经验为依托所进行的积极主动的建构过程。其教学设计原理强调：学生的学习活动必须与问题相结合，让学生在真实的教学情境中带着问题学习，以探索问题的解决方法来驱动和维持学习者的学习兴趣。所谓“问题驱动”，就是将所要学习的新知识隐含在一个或几个问题中，学生通过对问题进行分析、讨论，明确它大体涉及哪些知识，并找出其中的新知识，然后在教师的指导、帮助下找出解决问题的方法。
3主体教育的理论